88数学探究活动数学探究活动(二二):):探究函数性质探究函数性质第第二二章章课标定位素养阐释1.能通过对一次、二次函数图象与性质的探究,类比探究三次函数的图象与性质.2.能利用导数分析三次函数的图象与性质.3.提升逻辑推理、数据分析、数学运算等数学素养.一、探究函数性质的步骤1.求函数的定义域.2.研究函数的奇偶性、周期性、对称性等.3.利用导数研究函数的单调性、极值、最值.4.作出函数的图象.二、探究函数性质实例分析【典例】探究三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0,a,b,c,dR)的性质和图象.解:函数f(x)的定义域为R.当b=d=0时,函数f(x)是奇函数;当b,d有一个不为0时,函数f(x)是非奇函数;函数f(x)不可能是偶函数.f(x)=3ax2+2bx+c是二次函数,可能有下列三种情形.(1)函数f(x)没有零点,f(x)在(-,+)上不变号.若a0,f(x)恒为正,f(x)在(-,+)上单调递增,函数f(x)无极值;若a0,f(x)在区间(-,),(,+)上恒为正,函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,函数f(x)无极值;若a0,f(x)在区间(-,),(,+)上恒为负,函数f(x)在区间(-,+)上单调递减,函数f(x)无极值.(3)函数f(x)有两个零点x1=u和x2=v,且u0,f(x)在区间(-,u),(v,+)上为正,在区间(u,v)上为负,对应地,函数f(x)在区间(-,u)上单调递增,在区间(u,v)上单调递减,在区间(v,+)上单调递增.因此,函数f(x)在x=u处取极大值,在x=v处取极小值.若a0,f(x)在区间(-,u),(v,+)上为负,在区间(u,v)上为正,对应地,函数f(x)在区间(-,u)上单调递减,在区间(u,v)上单调递增,在区间(v,+)上单调递减.因此,函数f(x)在x=u处取极小值,在x=v处取极大值.由上述结论可得y=f(x)的大致图象如表2-8-1所示.表2-8-1 作一个函数的图象前需先研究它的性质,函数的定义域对函数性质的影响很大,故需先求其定义域;知道函数的奇偶性和对称性,便于作函数的图象;利用导数可研究函数的单调性、极值、最值,从而掌握图象的变化趋势.【变式训练】试探究函数f(x)=ax2+(a0,b0)的性质并作出其图象.函数的图象和性质如表2-8-2:表2-8-2