电线架设摘要随着国民经济的高速发展，供电区域的扩大，电线杆已经成为供电、通讯等 重要重要的基础设施之一，电力网遍布城乡各地，由于山区地形复杂，电线架设 规划问题在电网建设中具有十分重要的意义。问题1 主要是通过分析等高线图了 解该地区地形；问题 2 用插值拟合的方法拟合出该地区的三维地形图；问题三主 要应用 flyd 算法求的最短路径。然后分段求得所植电线杆的位置。针对问题 1，由所给的该地区的等高线图，我们根据等高线的数值大小走向 得到该地区有两个凹地，南方有山脊，东南方有山谷；又根据等高线的疏密程度 分析出西北坡缓、北坡和南坡较陡，山顶较为平坦。针对问题 2，我们由 figure(1).mat 文件中所给的数据，利用 matlab 软件 我们将该地区划分为步长为100m的网格，利用插值拟合的方法得到各个网格节 点的海拔高度，再用三维画图得到了该地区的三维网格图像，并求得 A、B、C、 三点的海拔高度，在该地区的网格图像中标出了三点位置，发现 A、C 两点都位 于山坡大概山脚的位置， B 点位于山顶的凹地中。针对问题 3，我们从两个方面考虑，即寻找最短路径和在合适的位置植入电 线杆，在山中假设电线杆受山体高度的限制，针对最短路径的选取我们选用了 floyd算法对该问题建立了最短路路模型，人工干预后分别得到A到B和B到C 最短路径经过的各个点的位置坐标，再分别将两段最短路径划分为几段，求各段 仰角，然后依据限制条件植入电线杆，经计算最后共需要植入 143根电线杆，最 后求得电线杆所在点的坐标。在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和 推广性。但是在求最短距离时，步长值取得比较大，从而使得误差增大，或者使 电线杆的位置不精确。关键词：数学建模 电线架设 插值 Floyd 算法 分段求解 Matlab1 问题重述1.1 背景资料电线电缆被誉为现代城市的“神经”和“血管”，这一行业肩负着为各行各 业国民经济支柱配套的职能，电力、通信、铁路、轨道、城市交通、船舶、汽车、 石油化工、建筑、公路、家电等产业对电线电缆的需求越来越大，而且电线架设 难度大、费用高，尤其是山区，由于地形的原因难度费用更加大，电线架设的规 划能在很大程度上减少费用、减少难度。也变的越来越重要。1.2 要解决的问题1. 已知山区平面等高线图形，利用所学的一些地理知识对此山区地形进行初 步的分析，叙述此地区的大概地势走向。2. 已知的平面等高线利用 matlab 软件绘制较精致三维的地形图，并在图中找 出 A、 B 、 C 三点，能够更加清晰直观的了解此山区的地形和三点所在的位置。3从实际情况出发，mtlab软件建立最优化模型，找出A点到B点再到C点 的最短距离及电线杆的位置。1.3 限制条件1. 电线杆的有效使用高度为8m。2. 相邻电线杆间距约为50。3. 要求电线离地面至少2米，必要是可以增设电线杆。【数据文件说明】figure(1).mat 文件为地形图相关数据。2 问题分析此问题针对电线架设的规划，在问题1中。对给定的平面等高线图，分析了解此地区的地形走势。在问题2中，利用已知的平面等高线编写matlab程序， 绘制较为精确的地形图。问题3中，根据实际情况，针对地形走势，建立最优化 模型与算法，找出最短路径。2.1 问题 1 分析通过对等高线图的分析我们能大致了解该地区的地形走势，为之后问题的解 决打下初步基础。利用给出的等高线图，分析等高线的疏密程度，了解地形的坡 度的缓陡，再根据等高线数值大小的变化分析出山顶与洼地，根据疏密了解其相 关特点。分析等高线的凸出部分可以找出山谷及山脊。2.2 问题 2 分析利用已知的x、y、z值。取合适的步长值得到ex、cy。通过ex、cy的关系 利用插值(griddata)的方法求的cz。然后画出ex、ey、cz的网格图，标出X、 Y、 Z 轴，即可得到该地形的三维地形图。2.3 问题 3 分析 问题三属于模型优化问题，一般优化模型我们选用 lingo 软件，但是此题中所用 数据太大，所以我们选用matlab中的floyd算法，题目中要求合理地架设电线， 并对电线杆做了一系列要求，针对要求1：相邻电线杆间距离约50m,利用了图论 中的floyd算法，分别求得A到B、B到C的最短路径，经过人工干预找出经 过的各店位置。根据所求解的最短路径，此算法不仅可求得两点间的最短距离还 可以记录下它的路径。要求2:电线离地面至少2m,通过计算夹角的正弦值，求得 夹角的临界值在程序中加以限制。继而利用插值算法，进行人工干预得出结果。3 问题假设与变量说明3.1 假设：(1).假设山上的高大树木和地质不影响电线架设。.假设所给的相关数据是真实可靠的。.不考虑数据处理过程中步长取值对结果的影响。.假设电线不浪费。(5).忽略电线因重力在空中弯曲的高度。3.2 变量说明：cza ： A、 B 段山体高度。(X,Y)：网格结点(i, j)对应的实际坐标。d ：距离矩阵。(i, j ,m,n)s :第k段的空间长度。kb ：第 k 段可插入电线杆数。kc ：第k段相邻电线杆间的距离。4 模型建立与求解4.1 问题 1 的求解本区为山区，山地地形，假设此图上北下南，分析为：等高线密的位置坡陡， 稀疏的地方坡缓，故西北坡比较缓,北坡南坡相对较陡;山顶部位1400m和1500m 等高线尤其疏，间距较大，所以这是座平顶山，山顶较平坦。又因为山顶的闭合 等高线先变大后变小，海拔高度最小为1200m，所以山顶有一处凹地，挤有个坑； 同理，东南方500m闭合等高线处也是一处凹地，东南方向等高线向海拔高处凸 出，所以东南坡上有条集水线，即山谷，自山峰约东南方向等高线向海拔低处凸 出且较密集，故这是条分水岭，即山脊，并且较陡。(画等高线图的程序见附录 1 ) .图1等高线线图4.2问题2的求解本题要求依据等高线画出较为精确的地形图，将题目中所给出的等高线图调 入 MATLAB 中得到数据，进而用插值的方法对数值进行细化，从而得到相对精确 的地形图。编写 matlab 程序（程序见附录二），求得图形为：2000.图2地形图4.3问题3的模型建立与求解4.3.1 模型思想首先分段计算最短距离，即分别求得A到B、B到C的最短路径，我们主 要采用的是floyd算法（Floyd-Warshall算法，简称floyd算法，用于求解任意两 点间的最短距离，时间复杂度为0（3）。Floyd-Warshall算法不仅能求出任意两 点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的结点。），人工干预后找到最短路 径经过的各个结点。在植入电线杆时，我们也分段插入，考虑到题目中要求电线杆的有效使用高 度为8m，相邻电线杆间距约为50m，要求电线离地面至少2米，所以首先计算出电线距离地面2米时的临界坡度arcsin3/4,计算出每段的坡度和临界坡度比较。 在小于临界坡度的情况下计算出每段对应的距离，求出每段需要植入多少根电线 杆,最后计算出共需要多少电线杆和电线杆的坐标。4.3.2 模型建立 最短路问题：最短路采用 Floyd 算法求从山脚下村庄 A(500,500) 处始,经过山顶游览点 B(2000,2500)到达矿区C(5000,4000)的最短路径，分两段既AB、BC两段分别求 最短路径。从起始点 A 到 B 由于山体高度变化，无法直接确定最短路径， Floyd 算法用 于搜索两固定点之间的最短路。A(500,500)，B(2000,2500)两点以100为步长值，分别取矩形的ab边及cd边 上的离散点的集合cxa及cya ,采用插值的方法得出cxaxcya中的点对应的山高 cza，该网格共有21 x 16个节点，令A点所在的行与列为(1,1)，点B所在的行与 列为(21,16)，如下图所示，则该矩阵中的第i行，第j列的网格节点的实际坐标 为：(X, Y)。首先，给出任意一个网格节点所在的行与列及其对应的实际坐标之间的变公式：i = U +1100+1100(1)令d(i, j,m,n)为网格中(m,n)到(i, j)的距离，由于每个网格节点只能走到相邻网格节点，则(2)利用 Floyd 算法可求得最短路径经过的网格节点，同理可求得 B 到 C 的最短路 径经过的网格结点，利用公式(2) 可求得各结点对应的实际坐标( X ,Y ) 。 电线杆的架设问题：由表N可得在第k段的仰角为9 , 0 0 ,电线离地不会小于两米，第k段kk0的实际距离S .；Ax2 + Ay2 + Az2，每段可架设电线杆，b =金+1在第k 段上相邻两根电线杆间的间距进而可以求得电线杆的坐c =丄 标。k b -14.3.2 模型求解 k第一步：在问题2的基础上我们重新取步长值为100，并找出A、B、C三 点的位置，利用floyd算法先求得 A到B的最短路径，经人工干预找到最短路 径经过的各个节点为(编程中我们将(500,500)这个点话为了(1,1)点)：(1,1) T (2,2) T (3,3) T (4,4) T (5,4) T (6,4) T (7,4) T (8,4) T (9,4) T (10,5)T (11,6) T (12,7) T (13,8) T (14,9) T (15,10) T (16,11) T (17,12) t (18,13) T (19,14) t (20,15) t (21,16)将上面各个点转化为实际坐标为：表1 A到B最短路径经过结点坐标表X1500600700800800800800y150060070080090010001100z1685750.9813.6880926.8980.71034.2x18008009001000110012001300y11200130014001500160017001800z110801114.21175.61132.61289.81347.61401.9x11400150016001700180019002000y11900200021002200230024002500z11449.51478.31450.91336.71212.41093.81074.2第二步：编写matlab程序(程序见附录3)在地形图中画出A点到B点的 路线，结果如下：图4 A到B最短路线图同理求得B到C的最短路径经过的各个节点为（编程中我们将（2000,2500）这个点话为了（1,1）点）：(1,1)t (2,2) t (3,3) T (4,4) t (5,5) T (6,6) T (7,7) T (8,8) T (9,9) T (10,10) t (11,11)t (11,12)t (11,13)t (12,14) t (13,15)t (14,16) t (15,17) t (15,18) t(15,19)t(15,20)t(15,21)t(15,22)t(15,23)t(15,24)t(15,25)t(15,26) t(15,27)t(15,28)t(15,29)t(15,30)t(15,31)从B点到C点的最短经过的各个网格结点的坐标见下表：表2 A到B最短路径经过结点坐标表xl20002