第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动 到高电位的电源正极，使两极间维持一定的电位差。而静电场的作用是在外电路中把正电荷由 高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的 是抵制电流的作用。电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。把这两种电场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力，E二F。当然电源种类不同，F的起因也不同。qk11-2 静电场与恒定电场有什么相同处和不同处为什么恒定电场中仍可应用电势概念答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且 都是位场。但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环 路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。11-3 一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同电流密度是否相同电流强度是否相同为什么答：此题涉及知识点：电流强度I = 1 j ds，电流密度概念，电场强度概念，欧姆定律的微s分形式j = QE。设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。由于加在两者上的电压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强E相同。由于铜线和银层的电导率C不同， 根据j =cE知，它们中的电流密度j不相同。电流强度I = f jds，铜线和银层的j不同但s相差不太大，而它们的横截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同 的。11-4 一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是：（1）电场2）磁场（3）若是电场或者是磁场在起作用，如何判断是哪一种场 答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。可以改变质子的运动方向，通过质子观察运动轨 迹来判断是电场还是磁场在起作用。11-5 3个粒子，当它们通过磁场时沿着如题图11-5所示的路径 运动，对每个粒子可作出什么判断答：根据带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力规律，通过观察运 动轨迹的不同可以判断三种粒子是否带电和带电种类。题图11-511-6 一长直载流导线如题图11-6所示，沿Oy轴正向放置，在原点0处取一电流元Idl，求该电流元在（a，0，0），（0，a，0）,（a，a，0），（a，a，a）各点处的磁感应强度B 。讪+_止巴Z. .0）解：由毕奥-萨伐尔定律dB 二卩 idl x r o-4 nr 3题图11-6原点O处的电流元Idl在（a，0，0）点产生的B为:U Idl 厂o k4 na 2U I二（-adlk）二4 na 3Idl在（0, a，0）点产生的B为：U Idj x ajU Idl（dB = e二 o（j x j）二 0,4 n a 34n a 2Idl在（a，a，0）点产生的B为:dB =比Idj%0+a)色o血 k.4 n(J2a )316na 2Idl在（a, a, a）点产生的B为迪一也帀 j x (ai + aj + ak) _巴Idl( k)4n(J3a)336na211-7用两根彼此平行的长直导线将半径为R的均匀导体圆环它（/ 联到电源上，如题图11-7所示，b点为切点，求0点的磁感应强度。分析：应用毕奥-萨伐尔定律分别求出载流直导线L1和L2以及导题图11-7体圆环上并联的大圆弧ab和小圆弧ab在O点产生的磁感应大小强度，再利用磁感应强度的矢量叠加来求解。解：先看导体圆环，由于ab和ab并联，设大圆弧有电流I，小圆弧有电流I，必有:大小12IR = I R1大 2小由于圆环材料相同，电阻率相同，截面积S相同，实际电阻与圆环弧的弧长I和I有关，即:大 小Il = II ,1大 2小则I在O点产生的B的大小为1 1卩IlB =01 大,14 nR 2而I在O点产生的B的大小为2 2卩IlB 二 0 2 小=B .2 4kR 21B和B方向相反，大小相等即1 2B + B = 0。1 2直导线l在0点产生的直导线L2在。点产生的B3=0。则0点总的磁感强度大小为方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外。11-8 一载有电流I的长导线弯折成如题图11-8所示 的形状，CD为1/4圆弧，半径为R，圆心0在AC，EF 的延长线上求O点处磁场的场强。分析：O点的磁感强度B为各段载流导线在O点产生磁题图11-8感强度的矢量和。解：因为O点在AC和EF的延长线上，故AC和EF段对O点的磁场没有贡献。CD段BCD卩I兀04兀R 2DE段B =邛（cos 45。 cosl35。）=DE 4 兀aI pI0 =o4g2 R/22 兀RO点总磁感应强度为B = B + BDE CD方同垂直纸面向外.11-9.在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L和L，相距1 20.1m，通有方向相反的电流，I =20A, I =10A，如题图11-9所示.a ,1 20. m0 OStbP* 甘b两点与导线在同一平面内这两点与导线L2的距离均为5.0cm试求a , b两点处的磁感应 强度，以及磁感应强度为零的点的位置.分析:先根据无限长载流直导线的磁感应强度公式，由矢量叠加即可求出空中某场点的合场强。 解：如题图9-8所示，B方向垂直纸面向里aU Iu IB = I += 1.2 x 10-4(T)a2 n (0.1 - 0.05) 2 n x 0.05B方向垂直纸面向外bu Iu IB = -i= 1.33 x 10 -5(T)b 2 n x 0.052n x (0.1 + 0.05)设B = 0在L外侧距离L为r处2 2则2 n (r + 0.1)2 n r解得r = 0.1m11-10如题图11-10所示一无限长薄电流板均匀通有电流I，电流板宽为a，求在电流板同一平面内距板边为a的P点处的磁感应强度。*p分析：将无限长薄电流板分割成许多无限长载流直导线，应用无限长载 流直导线产生的磁场dB公式，然后积分求解总的磁感应强度。注意利题图11-10用场的对称性。解：在电流板上距P点X处取宽为dx.并平行于电流I的无限长窄条，窄条中的电流为dI = dx.adI在P点处产生的磁感强度为 u dIdB =才,方向垂直纸面向里。2kx整个电流板上各窄条电流在P点处产生的dB方向相同，故出ln22na方向垂直纸面向里。11-11在半径R = 1cm的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有 电流I = 5A自下而上地通过，如题图11-10所示。试求圆柱轴 线上一点P处的磁感应强度。分析：将半圆柱形金属薄片分割成许多无限长载流直导线，应 用无限长载流直导线产生的磁场dB公式，将dB按坐标轴分解题图11-11 后再积分求解总的磁感应强度。注意利用场的对称性。解：如解11-10图所示，无限长载流半圆形金属薄片可看成由许多宽为dl二Rdo的无限长电流窄条所组成，每根导线上的 电流在P点产生的磁场dB大小为dB = 罠，方向按右手螺 2n R旋法则确定。dI = dl = RdenRnR卩di 卩Id0dB = o = o .2nR2n 2 R由于各电流窄条产生的磁场方向各不相同，应按坐标轴分解将矢量积分化为标量积分，即B = J dB = J dB sin 9 =0Id sin 9 =巴1,xx0 2 兀2 R兀 2 RB = JdB = JdB cos9 = J卩Id9 cos9= 0.yy0 2兀 2 R所以B = B =密=4 兀 Xi。 5 = 6.37 xio 一 5（T） x 兀 2 R兀 2 X 10 -2方向向右。11-12在半径为R及r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密 绕平面线圈（如题图11-12）通有电流I，求线圈中心（即两圆圆 心）处的磁感应强度。分析：将密绕平面线圈分割成许多同心的圆电流，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场dB公 式求解，然后再积分求解总的磁感应强度。解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流所组成，在沿径向r到R 范围内，单位长度的线圈匝数为Nn =.R - r任取半径，宽为d的电流环，该电流环共有电流为Indp =dp.R - r该电流环在线圈中心产生的磁感强度大小为dB =比 Indp2 P卩 IN dp e2(R - r) p圆心处总磁感强度大小卩 IN、R e In , 2( R - r)rB = J dB =卩 IN dp e2(R - r) p题图11-13方向垂直纸面向外。11-13如题图11-13所示，在顶角为29的圆锥台上密绕以线圈，共N匝， 通以电流I，绕有线圈部分的上下底半径分别为r和R 求圆锥顶0处的磁感 应强度的大小.分析：将密绕线圈看成许多载流圆环，利用载流圆环在其轴线上产生的磁场公式dB公式，再积分求解总的磁感应强度。解：只要将题11-12中的均匀密绕平面线圈沿通过中心的轴垂直 上提，便与本题条件相一致，故解题思路也相似。如解图11-12建立坐标，取半径为，宽为d的电流环的密绕线N |圈，其含有匝数为dp，R - r通电流为芒dp .因为x = p cot 0 , dx = dp cot 0。半径为 的一小匝电流在0点产生的dB大小为dB =p p 2dIo2( p 2 + x 2) 3/2p p 2NI02( p 2 + p 2COt20 ) 3/2 (R - r)dpp NIdpp NI sin3 0 dp=o= o.2csc30 (R 一 r) p2(R 一 r)p所有电流产生的磁场方向均沿x轴，所以其磁感强度大小为厂 p NI sin3 0 f R dp p NI sin3 0 RB =fR = oln .2(R 一 r)r p2(R 一 r)r11-14半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行 地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如题图11-14所示。设导线中通有电 流I，求在球心O处的磁感应强度。分析：考虑线圈沿圆弧均匀分布，利用载流圆环在其轴线上产生的磁感应强度题图11-14公式求解，再积分求解总的磁感应强度。解：建立如解图11-14所示坐标，x轴垂直线圈平面，考虑线圈沿圆弧均匀分布，故在x-x + dx内含有线圈的匝数为N2 N2 NdN = - dl =竺 Rd0 =竺 d0.兀R/2兀R冗线圈中通电流I时，中心O点处磁感强度为dB =peIy2dN.2( x 2 + y 2 )3/2