半自然坐标及其应用倪致祥（阜阳师范学院物理系 阜阳 236041）摘要：本文提出了自然坐标方法，研究了其性质和特点，并把它应用到典型的物理问题中。我们还把半自然坐标方法与常用的极坐标和直角坐标进行了比较，分析了处理力学问题时各自的优点和缺点。关键词：半自然坐标，极坐标，直角坐标，轨道方程1、引言物体的运动是相对的。为了确定某一物体在空间中的位置，我们必须首先确定一个作为依据标准的物体参考系。在参考系确定之后，还要在它上面选取适当的坐标系，来确定物体在空间的位置。在力学中，常用的坐标系有两类。一类是普通坐标系，如直角坐标系、平面极坐标系和球坐标系等，另一类是自然坐标系。普通坐标系能完全描述物体运动轨道的外在性质，而自然坐标系可以较好地描述物体运动轨道的内在性质。本文中讨论的半自然坐标系，在对物体运动轨道的描述和处理中，兼顾了内在性质和外在性质，在一些典型的力学问题中非常方便。下面，我们先给出半自然坐标系的概念，然后讨论其在力学中的应用。2半自然坐标系的引入21、普通坐标系与自然坐标系的分析普通坐标系的特点是可以对空间的每个点进行完全的定位，如在直角坐标系中（为了简单起见，下面我们只讨论平面问题），坐标 (x, y) 完全确定了质点在空间的位置矢量r = x i + y j ，对应的曲线轨道方程为 y = y(x)；在极坐标系中，坐标 (r, q) 完全确定了质点在空间的位置矢量r = r er(q)，对应的曲线轨道方程为 r = r(q)。它们在研究物体运动轨道的外在性质时非常充分，但是在研究物体运动轨道的内在性质时出现了信息冗余。例如，把一条抛物线进行平移或旋转，虽然它的轨道形状不发生任何变化，但是在普通坐标系中的轨道方程却面目全非了。自然坐标系以弧坐标和曲率(s, k)来描述对象，它并不能确定质点在空间的位置矢量r ，也不能给出切线的斜率或切向单位矢量t，但是轨道方程为k = k (s)能够给出曲线的内秉性质。无论曲线进行怎样的平移或旋转，在自然坐标系中的轨道方程都保持不变。这表明自然坐标系中的轨道方程实际上包含了非自然坐标中的一簇曲线，这与其轨道方程中包含普通坐标的二阶导数有关。22、半自然坐标系的引入从上面的分析中我们看到：普通坐标系的优点在于给出了对运动轨道的全面明确描述，缺点是包含了较多反映曲线位置的方位信息，而反映曲线形状的内在性质表现的不够明显；而自然坐标系则正好相反，能明显反映曲线的内在性质，但是丢失了方位信息。在应用中，我们往往根据问题的性质和要求选取适当的坐标系，做到扬长避短。例如，在研究炮弹的落点问题时，我们关心的主要是方位，最好取普通坐标系；而在研究最快降落问题时，我们关心的主要是形状，取自然坐标系更适当。然而，在一些实际问题中，我们可能会有兼顾两方面的需要。这时选用普通坐标系或者自然坐标系都不理想，最好有一种介于两者之间的新坐标系。这种新的坐标系兼有自然坐标和非自然坐标的特点，称为半自然坐标。考虑到普通坐标系的变量是位置，而自然坐标系有一个变量是曲率，它与位置的二阶导数有关，因此我们猜想新坐标系中应该有一个变量是斜率，它与位置的一阶导数有关。为了兼顾外在位置的描述，半自然坐标系中有一个变量应取普通坐标，另一个变量则反映曲线的内秉性质，可以取曲线的切线倾斜角。按普通坐标变量的选取不同，我们可以把半自然坐标分为直角自然坐标系和极自然坐标系。在直角自然坐标系中，变量为动点的直角坐标x和轨道切线与x轴的夹角a；在极自然坐标系中，变量为动点的极坐标r和轨道切线与矢径的夹角a。3、半自然坐标系与其它坐标系的变换关系31、直角自然坐标系与直角坐标系的变换关系在直角坐标系中，坐标变量为x和y，轨道方程为y = y(x)；而在直角自然坐标系中，坐标变量为动点的直角坐标x和轨道切线与x轴的夹角a，轨道方程为a = a(x)。两者的关系如下图所示： 图1 曲线的直角自然坐标坐标变换关系为： (1)32、极自然坐标系与极坐标系的变换关系在极坐标系中，坐标变量为动点到原点的距离r和矢径与x轴的夹角q，轨道方程为 r = r(q)；而在极自然坐标系中，坐标变量为动点的极坐标r和轨道切线与矢径的夹角a，轨道方程为 r = r(a)。两者的关系如下图所示： 图2 曲线的极自然坐标坐标变换关系为： (2)33、半自然坐标系与自然坐标系的变换关系在直角坐标系中，坐标变量为x和y，轨道方程为y = y(x)；而在直角自然坐标系中，4、半自然坐标系在力学中的应用 由于半自然坐标系的特殊性质，有时它会在力学问题的处理中起到重要的作用。下面，我们给出两个典型的例子，说明半自然坐标系的用途。41、平行力场问题取直角坐标系的x轴沿力的方向，在一般情况下，平行保守力场的势能可以表示为V(x)。由于物体在y方向不受力，因此动量守恒，即py = const (3)此外，物体的机械能也守恒，即 (4)考虑到 (5)立刻可以得出物体在直角自然坐标系中的轨道方程为 (6)42、有心力场问题取力心为原点建立极坐标系，有心保守力场的势能可以表示为V(r)。由于物体在横向不受力，因此角动量守恒，即r v sina = h = const (7)此外，物体的机械能也守恒，即 (8)将(7)式代入(8)式中，立刻可以得出物体在极自然坐标系中的轨道方程为 (9)5、切线坐标与普通坐标的比较 通过上面的分析，我们发现在对力学问题的应用中，采用半自然坐标方法可以带来不少方便。首先，在半自然坐标系中，速度的表达特别直观，便于理解和应用。第二，用半自然坐标建立轨道方程相当简单，特别是在物体存在守恒量时，它的轨道方程可以直接从守恒定律中得到，不需要象在普通坐标系中那样去解微分方程。第三，从半自然坐标系到普通坐标系的变换关系非常简单，在需要的时候，我们可以很方便地把半自然坐标系下的轨道方程变换到普通坐标系中。当然，事物总是一分为二的，半自然坐标系也有它的不足之处。在计算运动方程时，它往往不如普通坐标系方便。6、结论本文把一种新的坐标系统半自然坐标系引入到了力学问题的研究中。由于半自然坐标系既能描述物体运动轨道的外在性质，又可以较好地描述物体运动轨道的内在性质，因此在求物体运动的轨道方程中，将带来极大的方便。我们对平行力场和有心力场的具体分析清楚地说明了这一点。需要说明的是，我们的研究仅限于平面问题。对于空间问题，我们猜想使用半自然坐标系也有助于建立轨道方程，但具体情况还有待于进一步研究。参考文献1 周衍柏 理论力学教程 高等教育出版社，1986.32 易照华 天体力学引论 科学出版社，1978.61