目 录第二章 流体的运动1 理想流体的定常流动1.1 流体运动的描述方法一、两种描述方法二、理想流体三、流场、流线和流管1.2 定常流动1.3 连续性方程2 理想流体的伯努利方程2.1 理想流体的伯努利方程2.2 伯努利方程的应用一、压强与高度的关系二、流速与高度的关系（小孔流速）三、压强与流速的关系3 黏性流体的运动3.1 黏性流体的运动一、层流二、牛顿黏滞定律 黏性系数相关链接：超流动性三、湍流和雷诺数相关链接：流动相似性3.2 黏性流体的运动规律一、黏性流体的伯努利方程二、泊肃叶公式3.3 物体在黏性流体中的阻力一、黏性摩擦阻力 斯托克斯阻力公式二、涡旋尾流 压差阻力思考题习题参考文献第二章 流体的运动红细胞在毛细血管中的流动 从图中可以清楚地看到红细胞发生形变，同时，由于红细胞的圆盘直径接近甚至小于毛细血管的直径，因此流动不能看作是均质流体的流动。气体和液体没有一定的形状，各部分之间极易发生相对运动，具有流动性，因而被统称为流体（fluid）。研究流体运动规律及其与边界相互作用的学科称为流体动力学（fluid dynamics）。流体动力学是气体动力学、水利学、生物力学等学科的理论基础，在工业、农业、交通运输、石油化工、航空航天、气象、地学、生物医学等领域应用极其广泛。流体的运动广泛存在于我们的周围及生命体内。掌握流体的运动规律，有助于理解日常生活中发生在身边的流体运动现象，深入研究人体的血液循环、呼吸过程以及相关的医疗仪器设备。本章主要介绍流体动力学的一些基本概念和规律。1 理想流体的定常流动1.1 流体运动的描述方法一、两种描述方法在流体力学中将流体看作是大量的宏观小微观大的流体质元组成并研究其宏观行为，因此可忽略物体微观结构的量子性，而视流体为连续介质。直接采用牛顿质点力学方法，把流体分成许多流体质元，每个流体质元满足牛顿定律，跟踪并研究每一个流体质元的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个流体运动的规律，这种方法称拉格朗日（Lagrange）法。拉格朗日法形象、直观，物理概念清晰，但是对于易变形、流动的流体，不易追踪，并需无穷多个方程才能描述由无穷多个流体质元组成的流体的运动状态，在数学上难以做到，而且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动后，虽然刚体由无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗日法在固体力学中应用较多。欧拉（Euler）法与力学中惯用的方法不同，它不是考察流体中的某一流体质元的运动过程，而是研究各流体质元的速度、压强、密度等物理量对流经的空间及时间的分布规律，即从场的观点、整体上来把握流体的运动。这种方法的物理意义不如拉格朗日法直观，但对研究流体流场的运动状况较为方便，在流体力学中得到广泛应用，本章将用欧拉法来讨论流体的运动规律。二、理想流体实际气体和液体都是可以压缩的，即流体的体积随其所受压强不同而改变。气体的可压缩性（compressibility）非常明显，如用不太大的力推动活塞，就可以使汽缸中的气体明显地压缩。但对于流动着的气体，由于气体的密度小，在压强差不太大，流速不很高的情况下，也能使密度较大处的气体迅速流向密度较小的地方，使气体的密度趋于均匀，因此可近似地看成是不可压缩的。液体不容易被压缩，如每增加一个大气压，水体积的减少量不到其原体积的两万分之一，水银体积的减少量不到其原体积的百万分之四。在一般情况下，实际液体可近似地认为是不可压缩的。实际流体运动时，层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力，这被称为流体的黏滞性。不同流体的黏滞性不同，如从玻璃杯中倒出水来很容易，但要倒出油漆则要困难得多。油类的黏滞性较大，水、酒精的黏滞性较小，气体的黏滞性更小。实际流体的运动很复杂，影响因素很多。在一些实际问题中，根据可压缩性、黏滞性对流体运动的影响不同，可分别将流体抽象为不可压缩流体、非黏性流体和既不可压缩又无黏性的理想流体（ideal fluid）等理想模型，即突出了运动的主要特征，又简化了问题。三、流场、流线和流管（a）流场 （b）流线 （c）流管图2-1流场、流线和流管流体运动时，流体质元（宏观大、微观小的区域中流体分子的集合）的运动情况，一般是各不相同的。在流体运动过程中，任一瞬间，在流体占据空间的任一点都具有一定的速度，每一点都有一个流速矢量，通常将由这些流速矢量构成的空间称为流速场，简称流场（flow field），如图2-1所示。图2-2流体绕过不同障碍物时的流线当流体做规则运动时，为了形象描述流场，引入流线（streamline），任一瞬间，流线上的任意一点的切线方向，与流过该点流体质元的速度方向一致。在流体内部，由流线围成的细管称为流管（stream tube），在流体力学中，往往取一流管作为代表加以研究。图2-2显示了流体绕过不同障碍物时流场的变化。流体运动时，若流线无头无尾形成闭合曲线，这样的流动称为有旋流动，如河流中的涡旋，对应的流场为有旋场；若流线有头有尾不形成闭合曲线，这样的流动称为无旋流动，对应的流场为无旋场。一般而言，当某时刻一个物理量在空间中每一点都有确定值，即物理量在空间有确定分布时，则该物理量在此空间形成一个场。例如在第一章遇到的重力场、本章要讨论的流场和下面要涉及的电磁场。如果物理量是标量，这个场就是一个标量场；若是矢量，则是一个矢量场。在标量场中，常用等值面（如等温面、等势面）形象地表示物理量的空间分布状态。在矢量场中，则常用矢量线描述场中物理量的分布（如用流线表示流场），不仅可以用矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量的方向，还可以用矢量线的稀密表示矢量的数值。随时间变化的场叫做可变场或非稳定场（如可变电磁场），不随时间变化的场则叫做稳定场。1.2 定常流动一般情况下，流场中各点的流速随位置和时间的变化而改变，流线的形状亦随时间而变，这种随时间而变化的流动称为非定常流动。如果流场中各点的流速不随时间变化，这种流动称为定常流动。对于定常流动，流线不随时间改变，不同时刻的流线不相交；流管形状也不随时间改变，流管内的流体不会流出到管外，流管外的流体不会流入到管内。1.3 连续性方程图2-3流管中流量的连续性流体作定常流动时，在任一细流管内取与流管垂直的两个截面S1和S2与流管构成封闭曲面，流体由S1流入，从S2流出，如图2-3所示。当选取的流管截面足够小时，流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的。若设S1和S2处流体的速度分别为v1和v2，流体的密度分别为r1和r2，由于流体是作定常流动，流管内各点流体的密度不随时间改变，因此封闭曲面内流体的质量不会有变化，即在t时间内，从S1流入封闭曲面流体的质量m1应等于由S2流出流体的质量m2，即m1= m2r1（v1t）S1=r2（v2t）S2r1 v1S1=r2 v2S2 上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的，一般可以写成Q m =r v S=常量 （2-1）式中Q m称为质量流量。该式表明：在定常流动中，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的质量相同，该式称为定常流动的连续性方程，也称为质量流量守恒定律。对于不可压缩流体，r为常量，则有v1S1= v2S及Q v = v S=常量 （2-2）式中Q v 称为体积流量。该式表明：不可压缩流体作定常流动时，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的体积相同，该式称为不可压缩流体的连续性方程，也称为体积流量守恒定律。连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒。这些方程均是对细流管而言，若不是细流管，则v、r 应理解为其在截面S上的平均值。由连续性方程可知：（1）不可压缩流体作定常流动时，流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量。（2）同一流管，截面积较大处流速小；截面积较小处流速较大。（3）流场中，流线密集处流速较大；流线稀疏处流速较小。河道宽的地方水流比较缓慢，而河道窄处则水流较急，这已是人们熟知的常识。例2-1 正常人心脏在一次搏动中泵出血液70 cm3 ，每分钟搏动75次。心脏主动脉的内径约2.5cm，腔静脉的内径约3.0cm，毛细血管横断面的总面积比主动脉的横断面面积约大220440倍。若将血液的循环看作是不可压缩流体在刚性管道中的定常流动，试求：主动脉、腔静脉和毛细血管的平均血流速度。解：心脏输出血液的流量Q=主动脉的横截面积上、下腔静脉的总横截面积根据连续性方程有：主动脉的平均血流速度腔静脉的平均血流速度毛细血管的平均血流速度为由此可见，血液经主动脉、大动脉、动脉、小动脉、微动脉到毛细血管，虽各类血管的管径愈来愈小，但其总截面积愈来愈大，所以血流速逐渐减慢。血液经毛细血管流入微静脉、小静脉、静脉、腔静脉，回到右心房，各类血管的总截面积又逐渐减小，回流在各种静脉血管的血液流速逐渐增大。2 理想流体的伯努利方程2.1 理想流体的伯努利方程1738年伯努利（D. Bernoulli）提出了著名的伯努利方程。图2-4伯努利方程的推导在作定常流动的理想流体中，取任一细流管，设在某时刻t，流管中一段流体处在a1a2位置，经过很短的时间t，这段流体到达b1b2位置，如图2-4所示。这段流体的机械能有何变化呢？由于是理想流体作定常流动，流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化，因此b1a2段流体的运动状态在流动过程中没有变化，即该段流体的动能和重力势能没有改变，只需考虑a1b1和a2b2两段流体的机械能E1、E2的改变。由连续性方程可知，a1b1和a2b2两段流体的质量、体积和密度均相等，可分别设为m、V和r。如图2-4所示，设这两段流体在重力场的高度分别为h1和h2、速度分别为v1和v2、压强分别为p1和p2。则这两段流体的机械能增量为流体流动是由后方流体推动前方流体前进，前方流体有阻碍作用，即压力F1作正功，压力F2作负功。理想流体从a1a2流到b1b2位置过程中，外力所作的总功为A=A1A2=F1 v1tF2 v2t=p1S1 v1tp2S2 v2t= p1Vp2V=（p1p2）V根据功能原理，理想流体从a1a2流到b1b2位置过程中，其机械能的增量等于外力所作的功A= E2E1即 （2-3）考虑到S1、S2的任意性，上式还可以写成=常量 （2-4） （2-3）式、（2-4）式称为伯努利方程。伯努利方程给出了理想流体作定常流动时，同一流管上的任一截面处流体压强、流速和高度之间的关系。显然、rgh分别相当于单位体积流体所具有的动能和重力势能，而p则可视为单位体积流体的压强能。可见，伯努利方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具体表现。由于、rgh和p都是压强的量纲，因此常称为动压强，rghp为静压强。在以上的推导过程中，选择的是一段细流管内流体的运动，所涉及的压强p和流速v实际上是细流管横截面上的平均值。若令S0，流管就演变为一条流线，（2-4）式中的各量则表示在同一流线上各点的取值。可得以下结论：重力场中的理想流体作定常流动时，同一流管内（或流线上）各点的量p+rgh为一常量。2.2 伯努利方程的应用在流体力学中，伯