2.2.2 双曲线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2 C4 D4解析：双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4.答案：C2等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知可得c6，所以 abc3，所以 双曲线的标准方程是1.答案：D3已知双曲线1(b0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意及对称性可知焦点(，0)到bxy0的距离为1，即1，所以b1，所以c2，又a，所以双曲线的离心率为.答案：C4已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：因为双曲线1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为yx.又离心率为e ，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：C5(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析：方法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.方法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.答案：D二、填空题6已知双曲线1(0n12)的离心率为，则n的值为_解析：因为0n12，所以a2n，b212n.所以c2a2b212.所以e.所以n4.答案：47(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线x与两条渐近线yx的交点坐标为，不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(2，0)，F2(2，0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|PQ|42.答案：28双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是_解析：双曲线方程可变为1，则a24，b2k，c24k，e，又因为e(1，2)，则12，解得12k0答案：(12，0)三、解答题9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，)，离心率e；(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，)解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1(a0，b0)因为双曲线过点(3，)，则1.又e，故a24b2.由得a21，b2，故所求双曲线的标准方程为x21.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1(a0，b0)同理可得b2，不符合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为x21.(2)由2a2b得ab，所以e，所以可设双曲线方程为x2y2(0)因为双曲线过点P(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.所以所求双曲线的标准方程为1.10已知双曲线E：1.(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围解：(1)当m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为(3，0)，(3，0)，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为yx.(2)因为e21，又e，所以12，解得5m0)右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是()A(，5) B(，)C(1，) D(5，5)解析：根据题意，知23，如图因为，所以23，所以5e21，所以e0，b0)的右焦点为F(c，0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx，且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以所求双曲线的方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0.由题意，知圆的方程为x2y2c2.因为点A在圆上，所以xyc2.将代入，得3yyc2，又y00，所以y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，把点A的坐标代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2.又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入，整理得c42a2c2a40，所以3840，所以3e48e240，所以(3e22)(e22)0.因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.- 1 -