立体几何中的体积问题立体几何中体积问题的求解技巧体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容 之一解决这类问题时，除了牢记公式以外，还需要巧恩妙想，结合 具体条件灵活选择计算体积的合适方法一、公式法例1 (2012年江苏赛区初赛刀在四面体ABCD中,AB =AC =A D =DB=5 , BC = 3 , CD =4，则该四面体的体积为-解析：根据题意，BC=3，CD =4，D B=5，则zB C D =90. 如图1,取BD的中点E，连结AE、CE，由直角三角形性质可知 B E = CE =D E，而 A B = A C =A D =5,所以ABE ACE ADE，从而有AE丄BD ,AE丄EC，故AE丄平面BCD，即AE为平面BCD上的高，计算 可知V A-BCD=13SBCDAE=136532=53变式1：如图1,在三棱锥P-ABC中,PA = 1,AB = AC = 2 zPAB =zPA C =zBAC = 60,求三棱锥A-PBC 的体积解在/ab中，P B2二PA2+ A B2 2P A A B coszP A B=1 2+ 22 2x1 x2cos60。二 3解得 AB2= PA2+ PB2,即P A丄P B .同理可得PA丄PC，从而PA丄平面PB C .又因为 A B = A C = 2 ,z B A C = 60, 所以MBC为正三角形，B C = 2 .取B C的中点D ,连结P D ,则 PD =PB2?BD2=3?1=2.SPBC= 12BC PD =因此 V A-PBC=13S/BGPA=1321=23二、分割法例2（201年安徽预赛6）如图3设正四棱锥P-ABCD的体积为1 , E、F、G、H分别是线段A B、CD、PB、PC的中点，则多面体 BEG-CFH 的体积为解析此题要求多面体BEG -CF的体积，必须先将它切割成常见的 几何体，取BC、EF的中点M、N，连结M N、GM、GN，则多 面体BEG-CFH分割为一个四棱锥G-EBMN和一个三棱HFC -GNM，因为E、F、G、H分别是线段AB、CD、PB、PC的中点，且 正四棱锥P -A B CD的体积为1，则四棱锥G -EB M N的体积为V G- ECMN =18，从而三棱锥E -GNM的体积为 V E-GNM =116又三棱柱H F C GN M的体积为三棱锥E-G N M的体积 的3倍。所以三棱柱H FC-GNM的V HFC-GNM =316,从而多面体 B EG -CFH 的体积 V BEG- CFH =V G-BCMN +V HFGD-GMN =18+316=516评注在利用公式难以求解的情况下，我们还可以根据相关几何体 之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为-个四 棱锥和-个三棱柱后轻松得到答案变式2如图5，已知多面体ABC -DEFG , AB , AC , AD两两垂直， 面 ABC II 面 DEF G，面 BEF II 面 ADGC , AB = AD = DG = 2 , AC =EF=1,则该多面体的体积为()(A )2 (B )4 (C )6 (D )8解法1如图6，把多面体ABC-DEFG补成正方体DEPG ABHM，则 V ABC-DEFG =12 V DEPG-ABHM =12x23=4解法2如图7，取DG的中点H，以DA , D E . D H为棱构造长方体EFHD-BPCA，则三棱锥C-HFG与 三棱锥F-PCB全等.V ABC-DEFG二V ABPC-DEFH二 AB AC AD=2 xl x2 = 4 .三、补形法例3（2012年河南高一预赛5）已知四面体A -BCD中，AB 二CD二 213 , BC 二AD =41 , AC = DB =61 ,贝0该四面体的体积为解析根据题意，A B = CD = 213 , B C =AD =41 , A C =DB = 61考虑到42+ 52= 41，42+ 62= 52，52+ 62=61 ,则我们可以将四面体A-BCD补形为长方体AMDN -PCQB，其中，AN = 4，AP = 5，AM= 6 .计算可知，长方体AMDN -PCQB的体积为120，而四面体P -A B C、M -A CD、Q -B CD、N -A B D的体积均为20，所以四面体 A -BC D 的体积为 V A-BCD = 120 -80 = 40 .评注：说是“补形”，实为“还原”.当四面体A-BCD “补”为 长方体AMDN -PCQB后，我们就能明白四面体A BC D的体积原 来是用长方体的体积减去“补出来”的体积变式3如图6，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为 4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2 ，贝该几何体的体积等于解：如图7，将“一个与已知的几何体完全相同的几何体”与“已知的几何体”拼在一起组成一个高5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半，于是V=1xnX 22X5 = 10n2四、整体处理 有一些体积问题，如果能从整体着眼，适当处理，那么就能化繁 为简，事半功倍例4：三棱锥的3条侧棱两两垂直， 3个侧面与底面所成角分别是3O ，45，60 ，底面面积为 6 ，则三棱锥的体积为解如图9，设三棱锥的3条侧棱长分别为a ,b ,c，则3个侧面面积S 1，S 2，S 3分别为为6cos 30， 6cos 45，6cos 60。，从而18a 2b 2c 2=S 1S 2S 3=368.故 V=16abc=1五、巧比同高不同底的 2 个三棱锥的体积比等于它们的底面积之比棱锥（或圆锥 ）被平行于底面的平面所截，所得的小棱锥 （或小圆锥 ）与原棱锥（或 原圆锥）相对应的体积比等于“相似比”的立方遇到此类问题，利用 这种比例关系就可快速、准确获解例 5 某工厂食堂用圆台形缸盛满食油，已知此缸上、下底面半径 分别为40 cm和20 cm , 13天后，油的高度降为原来的若每天 用油量相等，剩余的油还可以用多少天?解如图12，将圆台补成圆锥，记从下至上3个部分的体积分别为V 1,V 2,V 3设 V 1=33a=27a由圆锥平行于底的截面的性质得V 2=53a-33a=98a，V 3=63a- 53a=91a设剩余的油还可以用x天，由题设得91 a : 13 = 98a : x解得 x= 14故剩余的油还可以用 14天变式5在三棱锥 A-B CD 中，P eAC ,Q eB D , V A-BPQ =6,V B- CPQ =2,V D-CPQ =8,则 V A-BCD =解如图 13，三棱锥B-APQ 与三棱锥 B -CPQ 同高不同底，得 V B-APQ :V B-CPQ =S APQ :S CPQ同理可得 V D-APQ :V D-CPQ =S APQ :S CPQ 从而 V B- APQ :V B-CPQ =V D-APQ :V D-CPQ 解得 V D-APQ =24 故 V A- BCD =40六、妙换当所给三棱锥的体积不便计算时，若能依据题设条细察几何体的 特征，合理转换顶点和底面（选择条件较集中的面作底面），则往往有利 于问题的解决.例6如图14,在长方体1111D C B A -ABCD中，E , P分别是BC , AD 1的中点，N是CD的中点，AD=AA 1=a , AB=2a，求三棱锥P-DEN的体积.（2006年四川省数学高考试题）解：由CD 1IIEP,得CD Ill平面PDE，从而6a V V V V 3PDD -E PDE -D PDE -N DEN -P 11=评注：三棱锥的任何一个面都可以作为它的底，这为解题带来了 方便变式6如图 15 , PCBM 是直角梯形，zPCB=90,PM BC , PM = 1 , BC=2 .又 AC=1,zACB=120,AB 丄 PC，直线 AM 与直线 PC 所 成的角为60.求三棱锥P MAC的体积.（2007年四川省数学高考 试题）解：取BC的中点N，则CN = 1 ,连结AN , MN .由PM CN , 得MN IIPC，从而MN丄平面ABC .又由直线AM与直线PC所成 的角为60。，可得zAMN=60.在ACN 中,由余弦定理得 AN=022120cos CN AC 2-CN AC ?+ = 3 ,在AMN 中，有MN 二ANcotzAMN = 3x33=1，因此PCNM为正方形，从而A CN -M M N C -A PCM -A M A C -P V V V V =123MN 120sin CN AC 21310=/=/七、极端法例15如图19，直三棱柱111C B A -ABC的体积为V ,点P , Q 分别在侧棱。和CC，上, AP=C o Q，则四棱锥B-APQC的体积为 .解:将条件AP=Q C 1极端化，使得点P 与点1A重合，点Q 与点C重合，则四棱锥B-APQC就变成三棱锥1ACA -B，它和直三棱柱111C B A -ABC等底等高，从而四棱锥APQC -B的体积等于V 31h S 31ABC =? 练一练1.如图，在三棱锥 P -AB C 中,AB = BC =2 ,zAB C = 120, PA = PB = P C = 4，求三棱锥P -AB C的体积提示：作P 0丄平面A B C,点0为垂足.因为PA = PB = P C, 所以OA = O B = O C,点0为MB C的外接圆的圆心.设0B二R , 则2R=BCsin zBAC =2sin 30=4 在 Rt POB 中,OB = 2 , PB=4，得 PO =2 3,从而 S ABC =12BA BC sin zABC = 3故 V P-ABC=13S ABC PO=1332 3=22 .如图12是一个平面截长方体的剩余部分，已知AB = 4 , BC=3，AE = 5，CG = 12，求几何体 EFGHABCD 的体积.提示：如图14，把已知多面体补成以ABCD为底面，高为梯形A EGC的中位线的2倍的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,贝OV EFGH-ABCD =12V ABCD-A1B1C1D1=12x3 x4 x 17=1023 .如图13，已知体积的V的三棱柱ABC A 1B 1C 1 , P是棱 B 1BO上除B 1 , B，以外的任意一点，求四棱锥 P -AA 1C 1C的体积.提示：如图15，把三棱柱ABC -A 1B 1C 1补成平行六面体AA 1C 1CD D 1 B 1B，设P到面AA 1C 1C的距离为h，贝V P-AA1C1C =13S AA1C1C h = 13V AACC-DDBB =13x2V ABC-A1B1C1=2V34 (2010年江苏赛区初赛9).在三棱锥A-B CD中，已知zACB 二zCBD ,zACD 二zADC = zBCD 二zBDC =6 且 cos二1010已知棱 A B 的长为 6 2，贝此棱锥的体积为提示根据题意，zA CD = zA DC = zBCD=zBDC =6,贝ACD BCD,且AC = AD