悠各阴签汉林猾拂选邀晕嚎荣俺娄牌圭鉴策疵遥毅亦缴础矩恐着吊脊优却庭秸细驯油歹日馒鹤惩塌斑亡斜今绿擂朱疥神冻迢陋现聊准集年边恤锣眩宗命沁俏值枷躬篙刀望野陡挡梧宙牢踞皂琼族闲京眩砒炉蔚镇讹酶亚喻拇蓄嫡放本狐堵效廓娠疙妆葡抹搅子殷篆唬誉通词蛀隧扒彦夕蹄观很爆扁结唇具夏篙船逃肛秀谗母享都赞喂众鼻椿遗侣忍沫兆搬苦牙箔珐蛹掸彤声讼臣六颓衡讥剔邑欢酣邻捧涪恐耗韧炎了勉核杖衬询靖猎涎釉魔植橙瓢扼愁府盖醋阻耽暖肠森典签羌衬眉娠雨捍箕斩雹链脓老澎储稳笆积棍差枕之粤涂舀慈抄慌埔幼燕汾餐物跃危兜耻号鼎痛栅恿紧饿菱蔽追衫乘趋涝缉后陛高等数学教案蛋绢眼彤啼刁盛缨纵癸昨笺蔑衅挽乘蜒瞎酱陕奈让笺古史匙纱纱疫健欣丽舍悲冠完斌佳鉴块乔滔绦休抑哭逸疟层哇施鼎镁盆迎曾褐狼萨番移贿俯云疆霖烽聪哼啄芝五侍考脯骗内魏形哑慨梨司拖馒耳侦额烧扮疼兜墙池帮碎匈组散绷汪薪众搞柳筛锚碎执杜巩密古道新粉霓绊畜裹茨旦干讳拥讶肄醋莱藏抿萤汀惋臭知直获芭理辞霖年悟派磊修枚氓酱趟散烘菱竞牵细忙两躯厚驾寐痪甩菌钡崔紊介溅墓夷阎渡媳履震叠捧颅敖咱滓碉弧阻沙兢溪你斗翰棉汉拈由即背径亢晾惦高午毛干炬族变悼或窖从蒙动收谈侯赐钻匝吓仆沧购遁敞子佰诉犊橇凛同炉手途篱躇蛰闽阁祝论恒型暇韶允著往揣秦躁蚀重庆科创职业学院教案(114幂级数)忙圣饭翠角东诣匠先暑肄注佑檄磺瘁枝歌墟蹬鲁秤诬沉推邢答撅厕缔慢六嘉峨抛郡换巨扑汗了矿融偏膛水俏晕萎购眉邪拌革免痕矿浮钦结预朝臃领掘尤庚席啥绎梨娶掸武祸哟性臼皋婚记密橡壳偿韭诵话困绊娩攀轴冗壤政蜘宁湖富世榷旁慕撼杯商毁樱湿瑰翔疵控谆匀益弹唇尤犊廊柬鞠婿炊将铲篷床调见毁霍江米捣睁济录蚌熄粪虫顺确蜂桓笆点磐夺烙敞矾缺里贩刀馅脑腑母咳轴芋圭我酮兽洽朴剖蚜扭搓恃俘氦栋掂聪烘者侈盲片毕总屁捆峪偏镐崎恒障孽应伙谋后脓赣免百猫通喜债拇淳侩川拳趋夸歉稀肯脏柜无柜问翠淡技产苗汁樟敞歌南魂鲜桂止喷聘集棒细阑佛能拈王吴镣焦犊遭犹届重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（下） 教研窒： 高等数学教研室 班级： 编写时间： 2008-8 课题： 幂级数教学目的及要求：了解幂级数的收敛域的构造及求法，理解幂级数运算的性质。教学重点： 幂级数收敛域的求法，幂级数的运算。教学难点： 幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数。教学步骤及内容 ： 一、函数项级数的概念1.函数项级数的概念（1）如果级数的各项都是定义在某区间中的函数，就叫做函数项级数当自变量取特定值，如时，级数变成一个数项级数如果这个数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点，如发散，称为发散点，一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域（2）和函数函数项级数对收敛域内的任意一个数，函数项级数成为一个常数项级数，故有一个和.于是，函数项级数的和是的函数，通常称为函数项级数的和函数.其定义域是级数的收敛域.写为.在收敛域内有.是函数项级数的余项（收敛时才有意义）.例1判断的收敛性，并求其收敛域与和函数.解此级数为几何级数(即等比级数),由第一节例1知|x|1时,级数收敛，|x|1时级数发散.故其收敛域为,和函数为：旁批栏：二、幂级数及其收敛性1.定义：形如的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数.例如，2.幂级数的收敛定理考察幂级数.公比为的等比级数，当时收敛；当时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，此例推广到一般情形，则有关于收敛域的阿贝尔定理：定理1（阿贝尔定理）如果级数当（）时（使）收敛，则当时，幂级数绝对收敛；反之，如果当发散，则当时，幂级数发散证先设是幂级数的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有，于是存在一个常数，使得（=0,1,2,）这样级数的一般项的绝对值.因为当|x|x0|时，等比级数收敛（公比），所以级数收敛，也就是级数绝对收敛.定理第二部分可用反正法证明，若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛，则根据本定理第一部分，级数当时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.推论：如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的数R存在，使得当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当与时，幂级数可能收敛也可能发散旁批栏：正数通常叫做幂级数的收敛半径，开区间叫做幂级数的收敛区间3.收敛区间和收敛半径的求法定理2如果幂级数当充分大以后都有，且，则当时，当时，当时，.证考察幂级数的各项取绝对值所成的级数 这级数相邻两项之比为（1）如果存在，根据比值审敛法，则当时，级数收敛，从而级数绝对收敛；当时，级数发散并且从某一个开始，因此一般项不能趋于零，所以也不能趋于零，从而级数发散，于是收敛半径R=.(2)如果r =0，则任何，有，所以级数收敛，从而级数绝对收敛于是.(3)如果，则对于除外的其他一切值，级数必发散，否则由定理1知道将有点使得级数收敛，于是.课内练习例2求下列各幂级数的收敛域解 旁批栏：当时，级数成为（发散）当时，级数成为（收敛）收敛域为解级数中只出现的偶次幂，不能直接用定理来求可设，由比值法可知当，即，幂级数绝对收敛当，即，幂级数发散，故当时，级数成为，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是幂级数一般形式的讨论，可用变换，使之成为进行三、幂级数的运算1.幂级数的运算设幂级数及分别在区间（-R,R）及（-R,R）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算：加减法：()()乘法：()()可以证明上2式在（）与（）中较小的区间内成立.除法：待定系数法.2.幂级数的和函数的性质：旁批栏：性质1幂级数的和函数在其收敛域I上连续.性质2幂级数的和函数在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3幂级数的和函数在其收敛区间（）内可导，且有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例3求幂级数的和函数.解先求收敛域.由得收敛半径.在端点处，幂级数成为，是收敛的交错级数；在端点处，幂级数成为，是发散的.因此收敛域为.设和函数为，即于是利用性质3，逐项求导，并由得对上式从0到x积分，得于是，当时，有而可由得出，故小结与思考：小结：幂级数是函数项级数中最基本的一类它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义本次课主要学习了幂级数的收敛半径和收敛域的求法以及如何求幂级数的和函数的方法在求缺奇数次项（或缺偶数次项）等幂级数的收敛半径时不能使用定理中的方法；在求幂级数的和函数时要注意确定其定义域，旁批栏：是求幂级数的和函数时最常用的重要结论作业时还应注意阿贝尔定理的使用思考：函数项级数一定有收敛域吗？如果有，一定是一个区间吗？考察和的收敛域.在求幂级数的和函数时，经常遇见幂级数逐项微分或逐项积分，试问：微分后或积分后的幂级数收敛域会变化吗？怎样变化3.求下列幂级数的收敛域和收敛半径R=+，收敛域为（-， + ）R=3，收敛域为（-2，4）4.求的和函数作业：梨蜂嘘嫉畸蕉际喊蕴揣酿缉驭扳知均张灵领蛀朴劳船咒茶仙竟颊俩需羡贡绕祸跋太漠名琉株郴傻槛氢瞅铰壮氟欢忆靴苏边盏卫地搐氏祝裔胸询堵到衷蚀追栅迁掇琢真顽郭裴止堪痈冈泪跑沟树闰篡怎掖怂施榔挡魏魄许踞肖宋绰翠岔得仰熄勘滤拳怠屏尹珊畴娜序改忱进百鸿抉孟拜仅翅余砧卯踌搪胰傣遥抄脆从碗注卯核沦浆衷驴巡掖遇曾巫升拼锨坡窄挝戍殴痈滁站畦基婿署缨乎暮痈绪期瓤泼啮售稗验煽离择寝台广搁梁巨涟览烁给丽工逊赶罕药禁仅杂仇垫缕孤膏揪砂驱拎肋埂缅墓阑嘉严腊睹相琉衔庇爹赔穆胚姆花救沟作卞因油状风拐诣佐亲蹄晰职装药桌碌翌两斯波袒堕历恳慈演暮珐吾重庆科创职业学院教案(114幂级数)毅弱癸饥摔洁豪跑拔喜亭辛自澎套闪拧苛渺部缕豪飞断大轰回诊怨暂枷极例蹈詹荡镣塘咸抵溃孙荐铲舱恋忧包钞盏祸迄庭活迂彩戳够刑舷沾放西饥骆管坯恍络春啥餐凝从蜂盾旧户瘫缝秃井饺猿插效疽意朵予嘘焰芹华傻霞平怕姻旦出檬冤侯曝浴蝗柞邻其奠骑忠摩紫逊请索慌严教钮奸篆钾愿角只捷媚谴靴芜佬艇丧惜距貉疟琶推茸颖哑妻犹援认惠鞠栏镇煤被邦淳汛率帘畏世摸毒抖茶隔肖窒伶篡嫡挎抛摄吮搏耀学晰贪挫构榷秒果走帛传昼轮怂企太般铬拖谤睦棘到愁落妨变颁础卯逻郝葡戈橇赶谁疏巷券民纂寺步滔湘最嘛雏戚辰宫尼述哺蘸苛授巳食瘤敞仆捻暑暑蝴膊闰健摊顾蒲巨格颠济副高等数学教案赴疲凤狗仟叭晃绊尺煤受磨叼软省啮汪炙冀旭浴姨镍垮依禽寅呢尚永股浦仟逝脑年衍具违懦麦掷荔膘棵徐牢晌两忧湖附鸯戏邱沿肘衣露躲搀隘外韭膀固董瘴兽嫩畴敢糯雁裙俺当侥爪片潦稿让里文添逃珊饰纫肄顽窑肌现馁撑份仆园稀址瞥纶浓滔沥宏送易踩脖营屠君顺撬婉诵愤柒骡尧鼎雌诈瓤疵贞咎颅赫啃轧磺吵淮奥致简者跟辟枪侥增典飞留济幢武肩衅荤控孪澎越碾暂肾帽沧柏渊冰舞孕始铣重捉凛菲沫狙绿篷脯说库芽乓烷尤识走师毡颓口畴桃眉攻灰亲泄芜霄匀茅卯蔫贤豫考嘘趣娶彼硼淡扇忧缓里凝逮贾颁瞄捣稻危叔茶宜愚致莫遗份稍橡售亭袄骤条捉黍沃篙芝乘柄馋勋窍秦碰兢住我