第 13 讲 双曲线【知识梳理】一、双曲线的定义1、平面内一点P与两定点片、F2的距离的差的绝对值等于常数即IIPFl-IPF2ll=2a (a0).若2aIFF2l,则点P的轨迹为；若2a=IF1F2I,则点P的轨迹为; 若2a1) (即)的点的轨迹叫做双曲线定点F为双曲线的，定直线l为双曲线的.二、双曲线的几何性质条件I MF I I MF IP 二M III MF I I MF II二 2a(2a I FF ) = M I= e(e 1)121 2dd1 2标准方程范围顶点对称性对称轴对称轴：实轴长：，虚轴长：对称中心焦占八、八、准线方程焦半径焦距离心率渐近线方程共渐近线的双曲线方程【典例分析】类型一 双曲线的定义及标准方程例1.(1)已知P是双曲线育一=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy=0.设F、F2分别为双曲线的左、右焦点若PF2I = 3，则IPFJ=.(2 )已知双曲线竺竺=1( a 0, b 0)的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线 a2 b2y2二4 J3x的焦点重合,则该双曲线的方程为.(3) 已知双曲线盍号=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且IABI=4, F2为双曲线的右焦点，AABF?的周长为20，则m的值为(4) 方程= i表示双曲线的充要条件是k g.k + 1 k 5(5 )已知点P是椭圆+竺=1与双曲线一-竺=啲交点，F , F是椭圆焦点，则1 + a 2 a 21 - a 2 a 212cos ZFPF 二.12(6) 在平面直角坐标系xOy中,双曲线艺2-竺=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦4 12点的距离是9(7) 在AABC中,B (-6,0), C (6,0),直线AB, AC的斜率乘积为丁，则顶点A的轨迹方程为4变式1.求与椭圆x2 + y2 = 1共焦点且过点(32,空2)的双曲线的方程；255变式2.已知双曲线过点(3 4近)(9 5)，求双曲线的标准方程; ，八4变式3焦距为20,渐近线方程为y = 2 X。类型二 双曲线的几何性质例2(1)双曲线x2 y2 = 1的实轴位于轴，实轴长等于；虚轴位于轴，虚43轴长等于.焦点在轴上，焦点坐标分别 和；离心率e二；顶点坐标是双曲线上点p(x ,y )的横坐标的范围是，纵坐标的范0 0围，双曲线左支上点P到左焦点F距离的范围是.1(2)若双曲线x2-尸=1(a0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于山,则此双曲线方程为.a已知双曲线Xy =1a0b0)的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率的值为.a2 b2(4) 已知双曲线的渐近线方程是y=4x,则该双曲线的离心率是变式1：两条渐近线的夹角为600的双曲线的离心率为.变式 2：离心率为 2 的双曲线的两条渐近线所成的锐角为.x2 y 2(5) 设双曲线-一 =1的左、右焦点分别为F , F，点P为双曲线上位于第一象限内一点，且4 5 1 2APFF的面积为6,则点P的坐标为12(6) 双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F、F, ZFMF=120,则双曲线的离心率为.1 2 1 2(7) 过双曲线養一b2=l的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为.x2 y2(8) 已知F、F2是双曲线忌一占=1(。0, b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正WF，若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 .(9) 已知行耳为双曲线x2-y2=1的左,右焦点，点P在C 上, ZF1PF2=60，则PF|.|PF2I=.(10) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线-一=1的离心率为J5,则m的值为.m m 2 + 4类型三 综合问题x2 y 2例3、(1)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C：t-y = 1 设过点M(0,1 )的直线与双曲线C交于A、B两点，若AM二2MB，则直线的斜率为.(2)已知双曲线汽必 ，b )，B，B1分别是双曲线虚轴的上、下端点，A，F分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2,则AB与BF夹角的余弦值为 设双曲线施-話=1的左、右焦点分别为g，希在双曲线的右支上，且PF广4PF2，则此双曲线离心率的最大值为.x2 y2B.若也=2両,则双曲线的离心率为(4)在平面直角坐标系xOy 中,点F是双曲线C：a-b=1(a0, b0)的右焦点,过F作双曲线C的一条 a2 b2渐近线的垂线 ， 垂足为 A， 延长 FA 与另一条渐近线交于点(5) 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB二爲,则C的实轴长为.(6) 已知双曲线的中心在原点，离心率为2, 一个焦点F(-2,)，设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若|MQ| = 2|QF|，则直线l的方程为.课后作业】1.已知双曲线丄- 2 = 1(a 0,b 0)的右焦点为F,若以F为圆心的圆x2 + y2 一 6x + 5 = 0与此 a 2b 2双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为2.在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆与双曲线y2 -3x2二3共焦点，且经过点C2, 2),则该椭圆的离心率为.3. 已知对称轴为坐标轴且焦点在x轴上的双曲线，两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的方程为.4. 已知P是双曲|-y92=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy=0.设F、F2分别为双曲线的左、右焦点若IPF2I = 3，则IPF=.5. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0) ,且焦距与虚轴长之比为 5: 4，则双曲线的标准方程是.；6.如果双曲线的两个焦点分别为F(-3,0)、F2(3,0)，条渐近线方程为y = 2x，那么它的两 条准线间的距离是.x27设F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足ZF1PF2=6O，则耳PF21 2 4 1 2 1 2的面积是.6. 过双曲线x2y2 = 8的左焦点片有一条弦PQ在左支上，若IPQI = 7, F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q 的周长是.x2 y28. 若双曲线阪一右=1(。0, b0)的两个焦点为行，F2, P为双曲线上一点，且IPFI = 3IPF2I，则该双曲线离心率的取值范围是.x2 y 29. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线E: =1(a 0,b 0)的左顶点为A，过双曲线E的右a 2 b 2焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为.10. 已知双曲线的中心在原点，焦点F，F2在坐标轴上，离心率为$2且过点(4，汕五).点M(3, m)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)求证：MF -MF = 0；(3)求厶F1MF2面积.1 2 1 2