9.10 棱柱与棱锥知识梳理1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.点击双基1.设M=正四棱柱，N=直四棱柱，P=长方体，Q=直平行六面体，则四个集合的关系为A.MPNQ B.MPQNC.PMNQD.PMQN解析：理清各概念的内涵及包含关系.答案：B2.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部解析：由ACAB，ACBC1，知AC面ABC1，从而面ABC1面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上.答案：A3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为A. B. C. a3 D. a3答案：D4.（2003年春季上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）解析：取BC的中点D，连结SD、AD，则SDBC，ADBC.SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为.在平面SAD中，作SOAD与AD交于O，则SO为棱锥的高.AO=2DO，OD=.又VSABC=ABBCsin60h=1，h=.tan=.=arctan.答案：arctan5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为_.解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1S侧2S侧3=149，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为135.答案：135典例剖析【例1】 已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.解法一：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1HB1D于H，EFA1C1，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.B1O1HB1DD1，O1H=a，V=SO1H=EFB1DO1H=aaa=a3.解法二：连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1+h2=B1D1=a，V=V+V=S（h1+h2）= a3.解法三：V=VVV=a3.特别提示求体积常见方法有：直接法（公式法）；分割法；补形法.【例2】 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD.（1）当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论.（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离.（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角.剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算.解：（1）以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，当a=2时，BDAC，又PABD，故BD平面PAC.故a=2.（2）当a=4时，D（4，0，0）、C（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2）、 =（0，2，2），=（4，0，0）.设平面PBC的法向量为n，则n=0，n=0，即（x，y，z）（0，2，2）=0，（x，y，z）（4，0，0）=0，得x=0，y=z，取y=1，故n=（0，1，1）.则D点到平面PBC的距离d=.（3） =（4，0，2），cos，n=0，证，n=，设直线PD与平面PBC所成的角为，则sin=sin（）=cos=.所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin.【例3】 如图，设三棱锥SABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC.（1）求证：SABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求SABC的全面积.（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥SABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.因为SABC，所以ADBC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又BAC=60，故ABC为正三角形，且O为其中心.所以SABC为正三棱锥.（2）解：只要求出正三棱锥SABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.在RtSAO中，由于SA=a，SAO=60，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60=a，OD=AD=a.在RtSOD中，SD2=SO2OD2=（a）2（a）2=，则SD=a.于是，（SSABC）全=（a）2sin603aa=a2.深化拓展（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosS正棱锥侧（为侧面与底面所成的二面角）.就本题cos=，S=a2，所以（SSABC）侧=a2=a2.于是也可求出全面积.（2）注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.闯关训练夯实基础1.（2004年全国，10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于A. B. C. D. 解析：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，四面体EFGH也是正四面体.连结AE并延长与CD交于点M，连结AG并延长与BC交于点N.E、G分别为面的中心，=.=.又MN=BD，=.面积比是相似比的平方，=.答案：A2.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点，设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为、，则cos2+cos2+cos2的值是A.1B.2C. D.不确定正解析：以AP为一条对角线截得小长方体AP，由长方体的对角线长定理可得cos2+cos2+cos2=1.答案：A3.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MNAC.答案：点M与F重合说明：本题答案不唯一，当点M在线段FH上时均有MNAC.4.在三棱锥SABC中，ASB=ASC=BSC=60，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_.答案：arccos5.三棱锥一条侧棱长是16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积.解：如图，取AD的中点E，连结CE、BE，AC=CD=17，DE=8，CE2=17282=225，BE=CE，取BC的中点F，连结EF，EF为BC边上的高，EF=12.S=108.AC=CD=17cm，E为AD的中点，CEAD，同理BEAD，DA平面BCE.三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥.VABCD=VABCE+VDBCE=2SAE=21088=576（cm3）.6.（2003年春季北京）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EFBD=G.（1）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离d.（1）证法一：连结AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACD1D，AC平面BDD1B1.E、F分别为AB、BC的中点，故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.（2）在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H.点D1到平面B1EF的距离d=D1H.解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H.D1B1=A1B1=2=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4=.解法二：D1HB1B1BG，=.d=D1H=.解法三：连结D1G，则D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即B1GD1H=B1B2，d=D1H= . 培养能力7.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1=BB1，（1）求证：AB1BC1；（2）求二面角ABC1C的正切值.（1）证法一：如图，取BC的中点M，连结B1M、BC1交于N，则AM面BC1.下证BC1B1M.设BB1=1，则AB1=，AB=BC=，tanB1MB=tanB1BC1.得B1MBB1BN.B1BM=90=B1NB，即BC1B1M.BC1斜线AB1.证法二：如图，取B1C1和B1B的中点E与D，连结ED，则DEBC1.再取AB的中点G，连结DG，则DGAB1，GDE为异面直线AB1、BC1所成的角.下用勾股定理证明GDE为直角.取A1B1的中点F，连结EF、EG、FG，则EG=且DE、DG均可表示出.故可知EG2=DE2DG2，GDE=90.（2）解：连结AN，则ANM为所求二面角的平面角，tanANM=3.评述：本题（1）证法一中可把面BB1C1C单独拿出作成平面图形，则易于观察B1MB与B1NB的相似关系.证法二的特点是思路较好.因为所证为两异面直线，作出其所成角为一般方法.8.（2005年春季北京，文16）如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（1）的值；（2）二面角SB