第十五次作业一. 选择题：1. 设随机变量密度函数为，则的密度函数为（ A ）。A、 B、 C、 D、2. 设随机变量和相互独立，其分布函数分别为与，则 的分布函数等于 （ B ）A B. C D. 二. 填空：已知, 则的概率密度为 。三. 计算题1. 已知随机变量，求的概率密度。解: 故 2. 设随机变量X的概率分布为：X123nP求的概率分布。解：由于 故随机变量的可能取值为：-1，0，1。随机变量的；，于是随机变量的分布律为：Y-101P3设 ，求 = 的分布 。解：对应于 = ， ，由于 。当时， ， = 其中当时，=0是由时 而导出的。4. 设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，求。解: 由已知条件可得：，所以5. 已知随机变量的概率分布分别为 而且。(1)求的联合概率分布；(2)问是否独立？(3)求的概率分布。解: 由于,可以得到,从而, , ,汇总到联合分布列,即 01100010(2)由于,故不独立.(3),6设随机变量相互独立，其密度函数分别为 求的概率密度函数。解: 由相互独立得联合密度函数为密度函数中非零部分对应的落在区域D中,利用卷积公式,当时,当时,当时,故 7. 电子仪器由4个相互独立的部件组成，连接方式如图所示。设各个部件的使用寿命服从指数分布，求仪器使用寿命的概率密度。 解: 设各并联组的使用寿命为，则 由独立同分布知也独立同分布。现 所以 从而 。 8某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 （单位：吨）服从 上的均匀分布。这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 应该定为多少吨？这时，平均每月利润是多少元？ 解：因为,所以的概率密度为 。设月产量为 （），每月的利润为 ，则 。该厂平均每月利润为 。由 可解得 （吨）。可见，要使得每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量应该定为3吨。这时，平均每月利润是（万元）。第十六次作业一 计算题： 1. 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算。解: 设不合格得产品数为.(1).(2)利用二项分布的泊松定理近似,得,.2. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。解: 设是第页印刷错误的个数，已知，它们相互独立，由普阿松分布的可加性可知，300页书的错误总数。直接用普阿松分布计算，则有 。下面用独立同分布中心极限定理近似计算。因为，独立同分布，根据独立同分布中心极限定理，可认为 近似服从正态分布,其中,。 所以 。3. 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从上的均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？解: 设各个加数的取整误差为（）。因为 ，所以 ， （）。设取整误差的总和为 ，因为数值很大，由定理知，这时近似有 ，其中， 。所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为 。 4. 设是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度 。令，用中心极限定理求的近似值。 解: 因为 （）的概率密度为 ，所以 ，。由中心极限定理可知，这时近似有 ，其中， 。所以， 。5. 设有30个相互独立的电子器件，它们的使用情况如下：损坏，立即使用；损坏，立即使用，。设器件的寿命服从参数为（1/小时）的指数分布，令为30个器件使用的总计时间。问超过350小时的概率是多少？解: 设是第个电子器件的寿命，已知，它们独立同分布，。根据独立同分布中心极限定理，可认为 近似服从正态分布，其中 , 。 所以 。6. 某种福利彩票的奖金额由摇奖决定，其分布列为 若一年中要开出300个奖，问需要准备多少奖金总额，才有95%的把握，保证能够发放奖金？解: 设需要资金总额为b,设表示第i个奖金额,其中,其期望和方差分别为,利用独立分布中心极限定理近似,得, ,查表得,即.7. 某单位设置一台电话总机，共有200个分机。设每个分机在任一时刻要使用外线通话的概率为5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线，才能以90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？解: 设是要使用外线的分机数，。近似有 ，其中 ， 。设是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即 的概率要大于90，即要有 。查表可得 ，解得 ，大于它的最小整数是，所以，需要设置条外线。