第部分二次函数第课时 二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例 下列函数中，哪些是二次函数？（）； （）；（）； （）.分析：形如(，为常数，且)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成的形式，如果，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.例m取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：解：若函数是二次函数，则 解得且因此，当且时，函数是二次函数归纳反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数探索：若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？例 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（）写出正方体的表面积（）与正方体棱长（）之间的函数关系；（）写出圆的面积（）与它的周长（）之间的函数关系；（）某种储蓄的年利率是，存入元本金，若不计利息，求本息和（元）与所存年数之间的函数关系；（）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积（）与一对角线长（）之间的函数关系解：（）由题意，得 ，其中是的二次函数；（）由题意，得 ，其中是的二次函数；（）由题意，得 （且是正整数），其中是的一次函数；（）由题意，得 ，其中是的二次函数例 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为（）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子()求盒子的表面积（）与小正方形边长（）之间的函数关系式；()当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积解:（）；（）当3cm时，（）强化练习一、选择题：对于任意实数，下列函数一定是二次函数的是（ ）下列各式中，是的二次函数的是（） 若二次函数（） 2m 的图象经过原点，则的值必为（） 和. C.无法确定输入输出值第题图.对于抛物线和的论断：()开口方向不同；()形状完全相同；()对称轴相同.其中正确的有（）个个个个.根据如图的程序计算出函数值，若输入的的值为，则输出的结果为（）.二、填空题：当 时，函数是二次函数.当为值时，函数为二次函数.如果函数是二次函数，那么的值为.已知函数是二次函数，则的值为已知抛物线（ ），且直线 经过一、二、三象限，则的范围是.若函数（ ）（）的图象是抛物线，则.已知函数，当时，它是二次函数；当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数抛物线，开口向下，且经过原点，则点（，）是抛物线上的一点，则； 点关于原点的对称点是；点关于轴的对称点是；其中点、点在抛物线上的是若抛物线的顶点在轴上，则的值是已知函数当时，函数的图象是直线；当时，函数的图象是抛物线；当时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线第课时二次函数的图象和性质课标要求会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题.中招考点1 二次函数的图象及性质，尤其是二次函数图象的增减性和对称性.2 利用数形结合、整体思想、图形变换等解决相关问题.第一类二次函数的图象和性质典型例题例 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大（）求的值；（）求顶点坐标和对称轴分析：我们知道：二次函数的图象是一条抛物线，对称轴是轴，顶点是原点，的绝对值越大，图象越靠近轴.当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大，函数图象有最低点（，）.当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小，函数图象有最高点（，）.基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论.解：（）由题意，得，解得 （）二次函数为，则顶点坐标为（，），对称轴为轴例 已知正方形的周长为，面积为 （）求和之间的函数关系式，并画出图象；（）根据图象，求出时，正方形的周长；（）根据图象，求出取何值时， 分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量的取值应在取值范围内解：（）由题意，得列表：描点、连线，图象如图（）根据图象得时，正方形的周长是4cm（）根据图象得，当8cm时，归纳反思（）此图象原点处为空心点（）横轴、纵轴字母应为题中的字母、，不要习惯地写成、（）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分强化练习一、选择题在同一坐标系中，作， ，的图象，它们的共同特点是（）.都是关于轴对称，抛物线开口向上.都是关于轴对称，抛物线开口向下.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点.都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点已知原点是抛物线（）的最高点，则的范围是（） 已知二次函数 ，下列说法不正确的是（）当，时，总取正值当，时，随的增大而减小当时，函数图象有最低点，即有最小值当时， 的图象的对称轴是轴对于（）的图象，下列叙述正确的是（）越大开口越大，越小开口越小 越大开口越小，越小开口越大越大开口越小，越小开口越大越大开口越大，越小开口越小.直线与抛物线（）（）.只相交于一点（，）.相交于两点（，），（，）.没有交点.只相交于一点（，）.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下圆环的面积为，则与的函数关系式为（） ( )2 ( ) 二、填空题函数的开口，对称轴是，顶点坐标是.当时，抛物线开口向下已知函数是二次函数，它的图象开口，当时，随的增大而增大已知抛物线中，当时，随的增大而增大，则值为.已知抛物线经过点（，），当时，的值为如果抛物线和直线都经过点（，），则，.把函数 的图象沿轴对折，得到的图象的解析式是.经过（，）点作一条与轴平行的直线与抛物线相交于点、，则、两点的坐标分别为.函数( ) 的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口向，当时，函数有最值；在对称轴左侧，随的增大而，在对称轴右侧，随的增大而.第二类 的图象和性质回顾：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？仔细梳理，认真填写：（是常数，）开口方向对称轴顶点坐标如何由得到归纳反思 抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是（，）.（）当时，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的；（）当时，抛物线是由抛物线向下平移个单位得到的. 这个结论很重要，要在理解的基础上加深记忆.典型例题例 一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是，且抛物线经过点（，），求这条抛物线的函数关系式解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是轴，顶点坐标为（，），因此所求函数关系式可看作.又因为抛物线经过点（，），所以，解得故所求函数关系式为强化练习一、选择题（宁安市实验区年中考）函数的图象与轴的交点坐标是 （）.（，）.（，）.（，）.（，）在同一坐标系中，函数，的图象的共同特点是（ ）.都是关于轴对称，抛物线开口向上 .都是关于轴对称，抛物线开口向下.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点.都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点在同一直角坐标系中，与(、都不为)的图象的大致位置是( )二、填空题抛物线的开口向，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的函数，当时，函数值随的增大而减小当时，函数取得最值如果将二次函数的图象沿轴向上平移个单位，那么所得图象的函数解析式是.第三类 （）的图象和性质回顾：抛物线与抛物线有什么关系？归纳反思（是常数，）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标如何由得到典型例题不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?解：抛物线的顶点坐标为（，）；抛物线的顶点坐标为（，）因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是轴和直线抛物线是由向左平移个单位而得的强化练习填空题抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的函数，当时，函数值随的增大而减小当时，函数取得最值，最值将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点（，），则的值为第四类 （）的图象和性质回顾：抛物线与之间存在什么样的平移规律？仔细梳理，认真填写：开口方向对称轴顶点坐标如何由得到，归纳反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数中的值；左右平移，只影响的值，抛物线的形状不变.所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关典型例题例 把抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，得到抛物线，求，的值分析：把抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线 解：根据题意得，(), 所以 例 第一象限内的点在一反比例函数的图象上，过作轴，垂足为，连，已知的面积为.（）求反比例函数的解析式；（）若点的纵坐标为，过点的直线与轴交于，且与相似，求所有符合条件的点的坐标；（）在（）的条件下，过点，的抛物线是否可由抛物线平移得到？若是，请说明由抛物线如何平移得到；若不是，请说明理由.解：（）设反比例函数的解析式为，点的坐标为（，）， ， ，.（）由题意得（，），（，）. 点在轴上，设点坐标为（，），.与相似有两种情况：当时，有.，（，）.当时，有，即，.（，）或（，）. 符合条件的点坐标是（，）或（，）或（，）.（）当点坐标是（，）或（，）时，过点，三点的抛物线的开口向下，不能由的图象平移得到.当点坐标是（，）时，设抛物线解析式为.抛物线过点（，），.该抛物线可以由向左平移个单位，向下平移个单位得到.强化练习一、选择题将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）向左平移个单位，再向上平移个单位向左平移个单位，再向下平移个单位向右平移个单位，再向上平移个单位向右平移个单位，再向下平移个单位二次函数的图象可由的图象（ ）向左平移个单位，再向下平移个单位得到向左平移个单位，再向上平移个单位得到向右平移个单位，再向下平移个单位得到向右平移个单位，再向上平移