1一共有多少个正三角形？陕西省兴平市阜寨镇教委 张晨把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么，一共有多少个大小不同的正三角形呢？这是一个有趣又有一定难度的数数问题。这个问题如何解答？我们可以从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的结论。如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正三角形呢？通过观察分析可以发现，图中既有正立（）的正三角形，又有倒立（）的正三角形；既有边长为1（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）的小正三角形，又有边长为2和3的大正三角形。而且，由于正六边形的对称性，所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。第一步，边长为1的正立正三角形有：3+4+3+2=12（个）第二步，边长为2的正立正三角形有:3+2+1=6（个）第三步，边长为3的正立正三角形有1个。所以正立正三角形的个数是：12+6+1=19（个）因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等，所以图中一共有192=38（个）大小不同的正三角形。通过进一步的观察和分析，我们发现正六边形各边的等分数n分偶数和奇数两种情形，即当n=2m和n=2m+1时正六边形中正三角形的个数有不同的结论。先看当n=2m时正六边形中正三角形的个数。同上，我们只要先从上到下逐行求出边长为13m(边长为3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数，再乘2，就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。 第一步，边长为i(1i2m)的正立正三角形的个数是：(2m+1)+(2m+2)+（4m+1-i）+(4m-i)+(2m+1-i)=(2m+1)+(2m+2)+(4m-i)2+（4m+1-i）+2m+(2m-1)+ +(2m+1-i)=(6m+1-i)(2m-i)+（4m+1-i）+i(4m+1-i)=12m+2m-8mi-i+i+4m+1-i+2mi+i-i=12m+6m+1+i-6mi-i第二步，边长为2m+j(1jm)的正立正三角形的个数是：(2m+1-2j)+ (2m-2j)+ +1=(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)2=(m+1-j)(2m+1-2j) =2m+3m+1+2j-4mj-3j第三步，边长为12m的正立正三角形的个数是:(12m+6m+1+i-6mi-i)=2m(12m+6m+1)+ 1+2+(2m)-(6m+)(1+2+2m)=24m+12m+2m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)=24m+12m+2m+m+m+m-12 m-9m-m=13m+4m+m注： 1+2+(2m)=(2m)(2m+1)(4m+1)=m(2m+1)(4m+1)1+2+2m=(2m)(2m+1)=m(2m+1)第四步，边长为2m+13m的正立正三角形的个数是：（2m+3m+1+2j-4mj-3j）=m（2m+3m+1）+2(1+2+m)-(4m+3)(1+2+m)=m（2m+3m+1）+m(m+1)(2m+1)-m(m+1)(4m+3)=2m+3m+m+m+m+m-2m-m-m =m+m-m所以当n=2m时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：（13m+4m+m+m+m-m）2=（14m+4m+m）2=28m+9m+m (个)再看当n=2m+1时正六边形中正三角形的个数。第一步，边长为i(1i2m)的正立正三角形的个数是：(2m+2)+（2m+3）+（4m+3-i）+(4m+2-i)+(2m+2-i)=(2m+2)+(4m+2-i)2+（4m+3-i）+(2m+1)+ +(2m+2-i) =(6m+4-i)(2m+1-i)+（4m+3-i）+i(4m+3-i)=12m+14m+4-8mi-5i+i+4m+3-i+2mi+i-i=12m+18m+7+i-6mi-i第二步，边长为2m+j(1jm+1，边长为3m+1的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是：(2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ +1=(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)2=(m+2-j)(2m+5-2j) =2m+9m+10+2j-4mj-9j第三步，边长为12m的正立正三角形的个数是:( 12m+18m+7+i-6mi-i)=2m(12m+18m+7)+ 1+2+(2m)-(6m+)(1+2+2m)=24m+36m+14m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)=24m+36m+14m+m+m+m-12 m-15m-m=13m+22m+9m第四步，边长为2m+13m+1的正立正三角形的个数是：(2m+9m+10+2j-4mj-9j)=（m+1）（2m+9m+10）+21+2+（m+1)-(4m+9) 1+2+（m+1)=（m+1）（2m+9m+10）+(m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) (4m+9)=2m+11m+19m+10+m+3m+m+2-2m-m-m-9 =m+m+m+3所以当n=2m+1时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：(13m+22m+9m+m+m+m+3)2=（14m+25m+15m+3）2=28m+51m+31m+6(个)下表是正六边形各边等分数n为16时正六边形中大小不同的正三角形的总数：等分数n123456正三角形的总数638116262496840有兴趣的读者可以亲自画图数一数，分析验证一下。二一二年九月二十三日