2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题8.4 直线、平面垂直的判定与性质目录一、考点全归纳1直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：(2)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角【常用结论】1线线、线面、面面垂直间的转化2两个重要定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直3重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直二 题型全归纳题型一 线面垂直的判定与性质【题型要点】(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法类型一线面垂直的证明【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DFAB，PH为PAD中AD边上的高求证：(1)PH平面ABCD；(2)EF平面PAB.【证明】(1)因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如图，取PA的中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB.所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.类型二线面垂直性质的应用【例2】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【证明】(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.题型二 面面垂直的判定与性质【题型要点】(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论根据并有利于证明(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现(3)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件【例1】(2020衡水中学模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABDC，ABC90，PAB120，DCPC2.PAABBC1.(1)证明：平面PAB平面PBC；(2)求四棱锥PABCD的体积【解析】(1)证明：在PAB中，由PAAB1，PAB120，得PB，因为PC2，BC1，PB，所以PB2BC2PC2，即BCPB；因为ABC90，所以BCAB，又PBABB，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.(2)在平面PAB内，过点P作PEAB，交BA的延长线于点E，如图所示由(1)知BC平面PAB，因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.又平面PAB平面ABCDAB, PEAB，所以PE平面ABCD，因为在RtPEA中，PA1，PAE60，所以PE.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD(12)1.【例2】.如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.【证明】(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.又因为CFEFF.故平面CEF平面PAD.又因为CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA，又ABPA，所以ABEF.同理可得ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.题型三 平行与垂直的综合问题类型一 探索性问题中的平行与垂直关系【通法归纳】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置【技巧要点】对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性途径三：将几何问题转化为代数问题 【例1】(2019北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由【解】(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.【例2】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.(1)【证明】：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故，故OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，D为BC的中点，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD.易证CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.类型二 折叠问题中的平行与垂直关系【通法归纳】解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变【例2】如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积【解析】(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QEDC且QEDC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPSABPQE