第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第九章第九章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.强基础强基础 固本增分固本增分1.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0(A2+B20)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判定方法直线和圆相交,交点之间的线段叫作相交弦2.圆与圆的位置关系 判断两圆的位置关系一般用几何法 位置关系 几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成的方程组的解的情况外离dr1+r2无实数解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解内切d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1-r2|(r1r2)无实数解微点拨微点拨 两圆的位置关系与公切线的条数(1)内含:0条;(2)内切:1条;(3)相交:2条;(4)外切:3条;(5)外离:4条.常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0 x+y0y=r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由-得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)两个圆系方程过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R);过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防漏解).自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.若两圆相切,则有且只有一条公切线.()2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()3.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()4.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()题组二双基自测5.(2023重庆南开中学模拟)圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-4x+1=0的位置关系为()A.相交B.相离C.外切D.内切答案A解析圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径为r1=1.圆O2:x2+y2-4x+1=0的圆心为O2(2,0),半径为r2=.|O1O2|=2,r2-r1|O1O2|0)相切,则a=()答案A 7.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程是.答案y=1或4x-3y-5=0解析(方法1)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一直直线与与圆的位置关系的位置关系例题(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)(多选)(2021新高考,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切答案(1)A(2)ABD规律方法规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法 对点训练(2022山东滨州二模)已知直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,圆C:x2+y2-2x=0,则直线l与圆C的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定答案D解析直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,即(x-2)m2+(x-2y)m+(x+3y-5)=0,又圆C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,显然点A在圆C外,所以直线l与圆C可能相离,可能相切,也可能相交.故选D.考点二考点二圆的弦的弦长和切和切线问题(多考向探究多考向探究预测)考向1圆的弦长问题题组(1)(2022山东菏泽二模)已知圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为135的弦,则|AB|=.(2)(2022天津,11)若直线x-y+m=0(m0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=.(3)已知圆M的方程为x2+y2-6x-8y=0,过点P(0,4)的直线l与圆M相交的所有弦中,弦长最小的弦为AC,弦长最大的弦为BD,则四边形ABCD的面积为.规律方法规律方法 直线被圆截得的弦长的两种求法 考向2圆的切线问题题组(1)(2022河北石家庄一模)与直线x+2y+1=0垂直,且与圆x2+y2=1相切的直线方程是()答案(1)C(2)B(3)D 规律方法规律方法 解决直线与圆相切问题的策略 考点三考点三圆与与圆位置关系位置关系例题已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.规律方法规律方法 1.处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系判断,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.对点训练(1)(2023山东济南一中高三检测)圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则实数m的取值范围是()(2)(多选)(2022山东淄博一模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则下列结论正确的有()A.a2+b2=1B.直线AB的方程为2ax+2by-3=0答案(1)D(2)BC解析(1)将x2+2mx+y2+m2-1=0化为标准方程得(x+m)2+y2=1,即圆心为(-m,0),半径为1,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2.