行列式的计算方法与解析重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2007级 刘娟指导教师：孙晓梅中文摘要：高等代数是大学数学系的一门基础课，而行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文将行列式的计算方法进行归纳总结，共论述了13种方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。 关键词：行列式 计算方法 范德蒙行列式 解析Abstract: Determinant of higher algebra is one of the basic and important curriculum content, in mathematics has been widely used, so it is very important for us to know how to calculate the determinant . This method of calculating the determinant is summarized, a total of 13 kinds of methods are discussed and some typical examples introduced by calculating the determinant of certain skills.Key Words: determinant calculation skill Vander Mongolia determinant analysis 一、前言行列式的计算，高等代数中重要内容之一，最常用的是利用行列式的性质和展开定理，需要熟练的掌握，根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对行列式的解题方法进行了总结归纳。将一个行列式化为三角形行列式，是行列式计算的一个基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯（Laplace）定理法、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法、利用乘法定理法、裂项法、升阶法、公式法、规律缺损补足法、特征根法、数学归纳法、利用行列式乘法规则等可以看成是它们衍生出的具体方法。二、方法解析1、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。例1计算N阶行列式解 2、利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例2 计算n阶行列式 ，其中解 将的第一列视为（a-c）+c,0+c,0+c,据行列式的性质，得 (1)由b与c的对称性，不难得到 (2)联立（1），(2）解之，得 例3 计算n阶行列式 解 将按第一行展开，得于是得到一个递推关系式 ，变形得 ，易知 所以 ，据此关系式再递推，有 如果我们将 的第一列元素看作a+b,1+0,0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式 ，同样可 的值。3、提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。例4计算N阶行列式 解 该行列式各行元素之和都等于 x+，属于“全和型”，所以 4、利用拉普拉斯（Laplace）定理法 首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：在n阶行列式D=拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例5 计算2n阶行列式解 5、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例6 计算n阶行列式 分析：由题目观察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可视为，再由行列式的性质，将其化为两个行列式的和，再来计算。解 原不等式可化为： 把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取（i=1，2，3n），得6、利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例7计算n阶行列式 解 所以，当n2时，；当n=2时，；当n=1时， 7、裂项法 此法多用于将行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某种特殊算法 例8 计算=解：=+ =+=+ （1）同理 = （2）若，由（1），（2）组成的方程组解得 若，利用（1）递推得到： 8、升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例9计算n阶行列式 ，其中分析：观察行列式可知，除主对角线外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升阶法，对原行列式添加一行一列，运用行列式的性质再来求解。解 将最后一个行列式的第j列的倍加到第一列（j=2,3,n+1），就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为故 例10 计算n阶行列式解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，可以令 按第n+1列展开，则得到一个关于y的多项式， 的系数为，另外， 显然，中的系数为，所以9、公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1） 设A为n阶可逆矩阵,为n维列向量，则有 （2） 设A为n阶可逆矩阵,为n维列向量，则有 （3） 设A，B，C，D都是n阶方阵，且A可逆，则有 有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法例11 计算n阶行列式 解 令 A=则由结论（2），得 10、规律缺损补足法 此法多用于除去某些行列或对角线的元素后行列式的各元素具有规律性，此时就须补足规律，而后再减去某些元素。例12 计算 解：（1）若 时D= (*)这里, , 所以(*)式= （）（2）若存在 ，则 这时（）同样适用，因而（）为计算公式.11、特征根法 此法用于行列式所对应矩阵的特征根已知或易求的情况下，利用，其中为的特征根.例13 已知的特征根之模长均小于1，求证.证明:首先没有零特征根，否则存在可逆阵，使得 所以，= 所以，1为的特征根矛盾. 设，所以，所以，-1即2,所以，即0.12、数学归纳法例14用数学归纳法证明：解：当时有： 命题成立。假设时，命题成立，要证时，等式成立。 b按最后一行展开得： 将按最后一列展开 = 将 前列加到最后一列=按最后一列展开得：=所以 因为，所以： 故本题得证！注：本题可按行列式定义展开，也可按行或者列展开，还可将第行乘以都加到第1行，再按第1行展开。同样可证得此式 13、利用行列式乘法规则例13 设解：有所以三、总结以上总共给出了计算行列式的13种方法，其中有一些是常见的基本的方法，还有一些是特殊的方法。在课外书中还有一些其他方法，如极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，因为用途不广，所以不加以介绍。我认为只要理解和掌握以上13种方法，不管哪种行列式的计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，找出一个最简便的方法解出其值。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数（第二版）.北京：高等教育出版社，19942 王品超著，高等代数新方法.济南：山东教育出版社，19893 李师正,高等代数复习解题方法与技巧.高等教育出版社,20054 刘洪星,高等代数选讲.机械工业出版社,20095 姚慕生,高等代数.上海：复旦大学出版社，20026 许甫华，张贤科. 高等代数解题方法.北京：清华大学出版社，20017 期刊论文 ,一个n阶行列式的若干种计算方法.科技信息，2009，（3）：18-23