第3讲几何概型【高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本 内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内 容.新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题 为主.【复习指导】本讲复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事 件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领.同时要加强与平面区 域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练.A jKOJIZIZHUOAOXUE一 一 一八一一+ 一一一一一一一亠八一一“八一一-八八一八一一八八一-一八01冷考基自主导学懸老吩记J観学相绘基础梳理1 几何概型事件A理解为区域Q的某一子区域A,A的概率只与子区域A的几何度量(长度、 面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何 概型.2. 几何概型中，事件A的概率计算公式构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)()试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积*3. 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2) 等可能性：每个结果的发生具有等 助暫 P（C）= P（D） P（B）.答案 A4. 某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），贝U针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）.na302B34 nD .以上全错解析 设正三角形边长为a,则外接圆半径r = _23ax|=33a,3 2_4a 3I3 .所求概率P二卫胃二走 答案 B5. 在区间 1,2上随机取一个数X,则x 0,1的概率为解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P = ICDI3.K *0 XIAN ISTANJIUD* OXH 为署向探究导析考向一 与长度有关的几何概型【例11 ?点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点B, 则劣弧AB的长度小于1的概率为 审题视点用劣弧AB的长度与圆周长的比值.解析如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧MAN上时，对劣弧AB2来说，其长度小于1,故其概率为3.2答案2_八将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区 域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.【训练1】一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1的概率为解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1+ 2 + 36 1=6，故所求概率为P= 12= 293A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A) = 12=4.(2) 试验的全部结果所构成的区域为(a, b)|OW a 3,0 b2，构成事件A的区1 23X 2-2X 22域为(a, b)|0a3,0bb,所以所求的概率为 P(A)=-3X 2IUD 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化 为事件A满足的不等式，在图形中画出事件 A发生的区域，利用公式可求.【训练2】(2011福建)如图,矩形ABCD中，点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q, 则点Q取自 ABE内部的概率等于().2一 3D1 2G1 3B1一 4A解析S/ABE = 彌DI,S矩形ABCD = AB|AD|.SKBEI故所求概率P= 2S矩形ABCD 2答案 C考向三 与角度、体积有关的几何概型【例3】？在Rt ABC中，/ A= 30过直角顶点C作射线CM交线段AB于M , 求使|AM|AC|的概率.审题视点如图所示,因为过一点作射线是均匀的，因而应把在/ ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在ZACB内任一处，使|AM| |AC|的概率只与/BCC的大 小有关，这符合几何概型的条件.解 设事件D为“作射线CM，使|AM |AC|”.在AB上取点C使|ACj= |AC|,因为 ACC是等腰三角形，所以/ ACC180 302754= 90 75= 15，也=90,所以P(D)=159016.沙 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”.因为射线CM落在ZACB内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”，就是错误的,因为M在AB上的落点不是等可能的.【训练3】(2011长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDAiBiCiDi中，点O为底面ABCD的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外.记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)23卜 4nx 1321 一1 12.答案1 一1 12M A0D2HU*NXIAN6TUP003渺 考题专项突破考題展示名歸站读规范解答21如何解决概率与函数的综合问题【问题研究】所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 为背景，设置概型，提出问题，考查考 生综合分析问题、解决问题的能力【解决方案】 首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决【示例】？(本题满分12分)(2011潍坊模拟)已知关于x的二次函数f(x)= ax本题以“二次函数的单调性”为背景，首先写出事件发生所满足的条件，在第(1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第 问中，a和b有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与 满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之. 2b解答示范(1) 函数f(x)= ax2 4bx+ 1的图象的对称轴为直线x=，要使f(x)a 22b=ax 4bx+ 1在区间1, +x)上为增函数，当且仅当a0且 1,即2b a.(2 a若 a= 1，贝U b= 1;若 a = 2,贝U b= 1 或 1； 若 a = 3,贝U b= 1 或 1. 事件包含基本事件的个数是1 + 2+ 2= 5.(5分) 1 所求事件的概率为=3.(6分) 由(1)，知当且仅当2b0时, 4bx + 1.(1) 设集合P = 1,2,3和Q = 1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y= f(x)在区间1 ,+x)上是增函数的概率；px+ y 80,内的一点，y 0求函数y= f(x)在区间1 ,+x)上是增函数的概率.函数f(x) = ax24bx+ 1在区间1 ,+x)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为* a+ b 8w 0,，构成所求事件的区域为三角形部分.仃a, b） a0,lb 0a+ b 8 = 0, 由 ab=2,得交点坐标为厝3, (10分)所求事件的概率为p=1 c 82 X8X35.（12 分）上“宀 本题中先将f(x)在1, +)上为增函数转化为满足条件2b 0, 然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转 化迁移的思想值得考生注意，另外，对于二次函数f(x) = ax2 + bx+ c(aM0),在某 一区间m,+x)上单调递增的充要条件是a 0,b切勿漏掉a0.-Fm，【试一试】已知关于x的一元二次方程x2 2(a 2)x b2 + 16 = 0.(1) 若a, b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；若a 2,6 , b 0,4，求方程没有实根的概率.尝试解答基本事件(a, b)共有36个，方程有正根等价于 a 20,16 b2 0, 0,即 a2, 4vbv4, (a 2)2+ b2 16.设“方程有两个正根”为事件 A,则事件A包含的基本事件为(6,1), (6,2), (6,3), (5,3),共 4 个，41故所求的概率为p(A)=36=9.(2) 试验的全部结果构成区域 Q= (a, b)|2a6,0wb4,其面积为S( Q# 16,设“方程无实根”为事件B,则构成事件B的区域为2 2B#(a, b)|2w a 6,0 b 4, (a 2) + bv 16,1 2其面积为 S(B)# 4X nX 4 # 4 n,4 n n 故所求的概率为P(B)# =-* MATHEMATICS笔十篇概率、随机变量及其分布第1讲随机事件的概率【高考会这样考】1 随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题 中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查.2 借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法.【复习指导】随机事件