直线与圆锥曲线考点透析知识整合 1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.考点自测 xyOFBQP第1题1. （2010苏北四市）如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 . 2.（2010 南通三模）A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C 交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e _ 3.（2010徐州）已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 . 4. (2010 重庆)已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，则_ .典型例题 高考热点一：直线与圆锥曲线的交点问题例1.（2010 浙江 ） 已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点， 的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 【分析】：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 高考热点二：直线与圆锥曲线相交的弦长问题例2.(2010 辽宁) 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.高考热点三：弦中点问题例3.（2010 上海） 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.（1）若点满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.高考热点四：圆锥曲线中的对称问题例4在抛物线上总存在两点关于直线对称，求a的取值范围【分析】设对称两点所在的直线方程，代入曲线，消去变量x（或y）得到关于变量y（或x）的一元二次方程，利用中点在直线上和方程有两根，则其“判别式大于零”使问题得以解决。高考热点五：直线与圆锥曲线相关的综合性问题例5. （2010 湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间冰 O化 区 域融 已 川 B(4,0)P3(8,6)A(-4,0)xyx=2误区分析 已知曲线与直线仅有一个公共点，求m的范围试分析下面的解答错在哪里？解：曲线可化为，联立，得，由，得随堂练习 1（2010全国）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则_ 2（2010 盐城）已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线轴，则该椭圆的离心率= . 3（2010 山东）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为_ 4抛物线上的点到直线的距离的最小值是 .5有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积6（2010全国）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。 （1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程学力测评 1（2010全国）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为 2已知抛物线上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 .3（2009山东）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A.若为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 .4过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C若，则直线AB的斜率为 5已知椭圆的弦的中点的坐标为，那么，直线的方程是 6设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 .7设分别是椭圆的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点,使得线段的垂直平分线恰好经过点,则椭圆的离心率的取值范围_.8点在直线上，过作圆的两条切线，其中、是切点，那么四边形（是原点）面积的最小值是 .9已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.10已知椭圆:（）的右顶点（1，0），过的焦点且垂直长轴的弦长为1。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I） 求椭圆的方程；（II） 设点在抛物线:上，在点P处的切线与交于点，。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值。11抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数，使0，（1）求直线AB的方程；（2）求AOB的外接圆的方程12已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。参考答案直线与圆锥曲线考点自测 1、 2、3、 4、2典型例题例1（）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知设是的中点，则，由题意可知即即而 所以即又因为且所以。所以的取值范围是。例2解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 得离心率 . 6分（）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为. 12分例3解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上，所以点F在椭圆内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)例4. 设对称两点A、B所在的直线方程为，代入，得，设AB中点为，则，因为点在直线上，即，又，解得。例5解：（）设边界曲线上点P的坐标为，则由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上此时短半轴长所以考察区域边界曲线（如图）的方程为（）易知过点的直线方程为因此点A到直线的距离为设经过年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得解得，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上误区分析分析：方程与原方程并不等价，应加上故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分如图2，结合图形易求得m的范围为或随堂练习 1 2 3 4 5解：（1）设M点M在MA上 3分同理可得5分由知AB的方程为6分易知右焦点F（）满足式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）8分（2）把AB的方程12分又M到AB的距离ABM的面积15分6解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。命题意图：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力.学力测评 1 2434567889解：（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ,点在圆上，.10解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.