巧用函数模型解决最值问题江苏省江阴长泾中学 刘云彬 函数最值是函数概念的一个重要组成部分，在研究函数图象、性质及实际问题中非常有用。求函数最值问题的方法有很多，如观察法、配方法、图象法、判别式法、换元法等等。但广大师生仍普遍感到非常困难，本文将巧用数学模型，将问题化归到某一模型上去讨论，可以收到出奇制胜的效果。例1 若实数x ，y满足3x-2y-5=0 （1x3），求的最值。 方法1.构造函数模型方法2.构造斜率模型是分式函数，其结构与斜率公式相似，由此可视此式为定点（0，0）与线段3x-2y-5=0 （1x3）上动点P（x，y）连线的斜率，易知 归纳：对一类化归为的函数最值问题，运用斜率模型求解不失为一种行之有效的方法。例2.若点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求的最小值。 方法一.构造函数模型 中a，b均为变量，化为单参数问题即可。方法二：构造距离模型 可考虑两点间距离模型，上式可看成求动点（a，b）到（1，1）的距离的最小值。根据数形结合知引申：求函数 解： = 可考虑两点间距离模型。 上式可以看成求动点P（x，0）到点A（5，1）、点B（1，2）两点的距离之和的最小值。如图，又点B（1，2）关于x轴的对称点 B，（1，-2）到点A（5，1）的距离即为所求的最小距离，故。例3.设a0,函数F（x）= -4a(ax2-bx+c)，已知F（c）=0，求函数F（x）的最大值之最小值。常规方法：由F（c）=0得-4ac（ac-b+1）=0 a0，ac-b+1=0，b= ac+10，ac-1根据二次函数性质，由F（x）的表达式知函数F（x）的最大值为M=当且仅当ac=-1时等号成立，故F（x）的最大值之最小值为4。方法2.利用该题的几何意义将此题化为：已知抛物线V：y= -4a(ax2-bx+c)，（a0），经过点P（c，0），其顶点为M，求点M到x轴距离的最小值。解：在题设下，抛物线V开口向下，如图对称轴l：位于左半平面或与y轴重合，抛物线V与x轴有两个交点，P（c，0），Q（），分别位于右半平面与左半片面顶点M始终在上半片面，而且当对称轴逐渐移近y轴时，点M随之向x轴靠近，因此当l与y轴重合时，（即b=0，时）点M到x轴的距离最小，其值为点M的纵坐标。例4如图，一工兵在河岸A处发现水中S处有一水雷，水雷离岸的距离SB=10m，而工兵距B点的距离为20m，工兵在岸上的跑动速度为5m/s，而在水中的速度为1m/s，工兵为尽快到达S处排雷，他应在何处下水？ 分析：这是一个简单的应用问题。实际上就是要求我们在线段AB上选择一点P，使得经过点A、P、S时所花的时间最短。因此线段BP的长度或角的大小就是与问题有关的变量。于是就有下面的两种方法。 方法1：如图，设工兵从P处下水，BP=x （0x20），则AP=20-x，经过点APS所需时间为。这样我们就得到目标函数，即化简得xR，方程有实根，又y0，。而当当方法2：建立三角函数模型 设PSB=，(0arctan2),则AP=20-10tan.经过点APS所需时间, 若将看成经过M(cos,sin)、N(0,5)两点的直线l的斜率k，则求y的最小值，即求直线l斜率的最大值。由于0arctan2,所以当l：y=kx+5与圆x2+y2=1上对应的一段圆弧相切时，k取最大值k0。由。综上所述，要提高学生解题能力，不但要有扎实的数学知识和技能，而且能根据式子的结构特征，巧用数学模型，以便运用数学模型解决数学问题和实际问题。1