同步讲台 第9课 函数的应用 考点搜索1.函数是高中数学的主线，它除了本身有丰富多彩的内容之外，还具有多种应用的功能，树立函数思想，掌握函数功能，是函数综合应用的精华.2.函数应用题的解答程序解读实际问题建立数学模型解答数学问题检验实际结论.其中，解读实际问题指的是：通过阅读材料(如：语言文字，表格，图形等)，了解实际问题的背景，弄清哪些是已知条件，哪些是未知的，尤其是那些“隐含”的未知量.按照最少需要量设未知数，列出已知量与未知量之间的关系式(如：等式，解析式，不等式等)从而建立数学模型，然后确定具体的函数关系，从而将实际问题转化为数学问题.3.函数与众多内容有着千丝万缕的联系，常见的有：函数与方程，方程的根与图像的交点可相互转化；函数与不等式，将不等式的大小关系转化为函数图像的位置关系，函数与数列，数列是函数的一个特例，利用函数性质研究数列性质；函数与几何等等.作为函数综合应用的一个方面，将某些问题转化为函数问题，然后综合利用函数的诸种性质求解. 实例点津【例1】 如图所示，ABCD是边长为a的正方形，今在AB、BC，CD、DA上分别取A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=x，连A1B1C1D1得正方形A1B1C1D1，设其面积为S，求S关于x的函数式，并求A1在何处时S最小，最小为多少?【点津】 由AA1=x，易知其内接正方形边长，因面积函数为二次函数，故易求其最值.【解答】 AA1=x，A1B=a-x，A1B=A1B2+BB=(a-x)2+x2=2x2-2a+a2，(0xa) S(x)=2x2-2ax+a2=2(x-)2+，当x=，即A1B1C1D1位于四边中点时，S有最小值.【归纳】 平面几何中的应用题，利用几何图形性质，列出方程(或方程组)，然后确定函数解析式及其定义域.【例2】 设某函数f(x)定义域为a，b，其中a0，b=a+3-2004，若某一常数m满足：ambc，a+b+c=0.(1)求证：两函数的图像交于不同两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1长度的取值范围.【点津】 (1)将该问题转化为“二次方程有两个不同实根”的问题.(2)确定某一对象为长度函数的自变量，把“长度的取值范围”，转化为“函数的值域”.【解答】 (1)从方程组中消去y并依x聚项整理得：ax2+2bx+c=0，a+b+c=0且abc，a0且c0知上述方程有两个不同的实根，故知两函数的图像交于不同两点A，B.(2)设方程ax2+2bx+c=0的两根为：x1与x2，则x1+x2= -，x1x2=|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4()=4 (+)2+，abc，a+b+c=0，a0，c-a-cc1-1-，(-2，-)，f()=4(+)2+3的对称轴为= -，故当(-2，-)时，f()是减函数，|A1B1|2(3，12) |A1B1|(，2).【归纳】 将某些问题转化为函数的定义域、值域、单调性问题，是“函数思想”的具体体现.【例4】 设f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+）上的最大值是5，求F(x)在(-，0)上的最小值.【点津】 注意到F(x)-2是奇函数，其最大值是3. 【解答】 令(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x),则 (x)为奇函数，且在(0，+)上有最大值3，F(x)在(-，0)上有最小值-1. 【归纳】 构造新函数，利用“新函数”的奇偶性求解，是解答本题的技巧所在. 对应训练一、选择题1.某旅社有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，便减少10张客床租出，这样，为了减少投入，多获利，每床每天收费应提高 ( )A.2元 B.4元 C.6元 D.8元2.某商店卖p、q两种价格不同商品，商品p连续两次提价20%，同时商品q连续两次降价20%，如果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则商店盈利情况是( )(与不升不降比较)A.多赚5.92元 B.少赚5.92元C.多赚28.92元 D.盈利相同3.某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该地人口平均每年增长率为1%，为使2010年底该地人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积至少为( )m2(1.01101.1045) A.80 B.85 C.87 D.904.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y间的关系式为 ( )A.y=0.9576x B.y=0.9576C.y=1-(0.9576)x D.y=0.9576100x5.函数f(x)=log3|2x+a|的对称轴方程为x=2，则常数a为 ( )A.2 B.-2 C.4 D.-46.若方程：x2-ax+2a-1=0在(0，3)内只有一个根，则a的取值范围是 ( )A.(，8) B.(-，)(8，+)C.(-，) D.(8，+)7.若函数y=-2x2+x-1在-2，a上是增函数，则a的取值范围是 ( )A.(-2，) B.(-2，) C.-2， D.不能确定8.若函数f(x)=ax-a+6的反函数f -1(x)的图像过点(5，2)且在区间：(，+)上恒有f -1 (x)0,则 ( )A.a=2 B.a= C.a=2或 D.不存在9.函数f(x)的定义域为xR且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)的减区间为 ( )A.，+) B.(1，)C.，+) D.(1，)10.方程()|x|=|logx|实根个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题11.在研究试验中发现，一种放射性元素经过100年剩留量为原来质量的a%(0a100)，则质量为b的这种元素经过25年的剩留量为 . 12.将每支40元的化装品按每个50元出售时，能卖出500支，若每支多卖1元，则销售量减少10支，为了获得最大利润，售价应为 元.13.若f(x)=log2(2x-1)，则f(2x)=f -1(x)的解集为 .14.已知f(x)= ，(mR)，f(5)与f(-)的大小关系是 .三、解答题15.某粒子在回旋加速器中做圆周运动，已知出发t个单位时间通过的路程为s(t)=at2(a，b是常数)，如果最初转完第一圈时用了5个单位时间，接下去又用3个单位时间转完第2圈.(1)问：该粒子再用多少单位时间可以转完第3圈?(2)试问从第几圈开始，粒子转完一圈的时间不超过1个单位时间? 16.某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段(注：1个标段是指一定长度的机动车道)，拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的倍(1)，n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为，它与的关系为=.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比的取值范围.17.若f(x)=2x-2-xlga为奇函数，求实数a的值. 18.设x，y，z(0，1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1. 对应答案1.C 设提高x元，则y=(100-5x)(10+x)=-5x2+50x+1000，x=4或6时，y最大.2.B 调价前各售一件应得.+=52元，调价后23.04+23.04=46.08元，少赚52-46.08=5.92元.3.C 设每年新增x万平方米，则7x350(1.01)10-30086.6平方米. 4.B 设镭每年减小m，由题意得195.76%=(1-m)100，解得m=1-0.9576，故y=1（1-m）x即y=0.9576.5.D f(-+x)=f(-x)，对称轴x=-令-=2得a=-4.6.B 令f(x)=x2-ax+2a-1，由f(0)f(3)0(2a-1)(9-3a+2a-1)0a8或a.7.A y=-2(x-)2-2a.