第1章 因式分解一、背景介绍 因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。二、教学目标认知目标1、了解因式分解的意义； 2、理解因式分解与多项式乘法的相互关系； 3、初步了解，运用因式分解的提取公因式法和运用公式法。能力目标 1、通过对因式分解与多项式乘法的关系的理解，克服学生的思维定势，培养学生的观察、发现、对比、化归、概括以及他们的逆向思维能力； 2、在相互交流的过程中，养成学生表述、抽象、类比、总结的思维习惯，初步培养学生在探索和归纳新知识的过程中进行合情推理的能力情感目标1、让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；2、感受多项式乘法与因式分解之间的对立统一观点，从而向学生渗透辩证唯物主义的认识论的思想，引导学生树立科学的人生观和价值观；三、教学重点与难点重点是因式分解的概念及提取公因式法、公式法的运用，难点是理解因式分解与多项式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。课时安排7课时第一课时课 题1.1 多项式的因式分解教学目标（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与多项式乘法在整式变形过程中的相反关系.（二）能力训练要求通过观察，发现因式分解与多项式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.（三）情感与价值观要求通过观察，推导因式分解与多项式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.教学重点1.理解因式分解的意义.2.识别因式分解与多项式乘法的关系.3. 初步了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用。教学难点通过观察，归纳因式分解与多项式乘法的关系.教学方法观察讨论法教学过程一.创设问题情境,引入新课师大家会计算（a+b）（ab）吗？生会.（a+b）（ab）=a2b2.师对，这是大家学过的平方差公式，我们是在多项乘法中学习的.从式子（a+b）（ab）=a2b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2b2=（a+b）（ab）是否成立呢？生能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2b2与（a+b）（ab）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.师很好，a2b2=（a+b）（ab）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.二.讲授新课1.讨论99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.生99399能被100整除.因为99399=9999299=99（9921）=999800=9998100其中有一个因数为100，所以99399能被100整除.师99399还能被哪些正整数整除？生还能被99，98,980,990,9702等整除.师从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.师大家可以观察a3a与99399这两个代数式.生a3a=a（a21）=a（a1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：（m+4）（m4）=_;（y3）2=_;3x（x1）=_;生解：（m+4）（m4）=m216;（y3）2=y26y+9;3x（x1）=3x23x;m（a+b+c）=ma+mb+mc;（2）根据上面的算式填空：3x23x=（ ）（ ）;m216=（ ）（ ）;ma+mb+mc=（ ）（ ）;y26y+9=（ ）2.生把等号左右两边的式子调换一下即可.即：师能分析一下两个题中的形式变换吗？生在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是多项式乘积的形式.一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式。一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解（factorization）.师在（1）中我们知道从左边推右边是多项式乘法；在（2）中由多项式推出多项式乘积的形式是因式分解.4.想一想由a（a+1）（a1）得到a3a的变形是什么运算？由a3a得到a（a+1）（a1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？师非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个多项式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个多项式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与多项式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax3ax2=3ax（2x）;（3）a24=（a+2）（a2）;（4）x23x+2=x（x3）+2.三、因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用1、把12分解质因数2、质数或素数基本建筑块3、因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。如：解方程：四.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个多项式的积的形式；还学习了多项式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.五.课后作业习题1.1 P4P5教学后记：第二课时课 题1.2.1 提公因式法（一）教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法因式分解.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点让学生识别多项式的公因式.教学方法独立思考合作交流法.教具准备投影片两张教学过程.创设问题情境,引入新课投影片一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S= + + =+=2解法二：S= + + = （ +）=4=2师从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.新课讲解1.公因式与提公因式法、因式分解的概念.师若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？生等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.师由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.即：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.2写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （m）（2）4kx8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2）（4）a2b2ab2+ab （ab）3.例题讲解例1将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x221x;（3）8a3b212ab3c+abc（4）24x312x2+28x.（如何判定符号）（5）分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.师请大家互相交流.4.议一议师通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.生首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.5.想一想师大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？生提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.课堂练习（一）随堂练习把下列各式分解因式（1）8x72=8（x9）（2）a2b5ab=ab（a5）（3）4m36m2=2m2（2m3）（4）a2b5ab+9b=b（a25a+9）（5）a2+abac=（a2ab+ac）=a（ab+c）（6）2x3+4x22x=（2x34x2+2x）=2x（x22x+1）（二）补充练习投影片把3x26xy+x分解因式生解：3x26xy+x=x（3x6y）师大家同意他的做法吗？生不同意.改正：3x26xy+x=x（3x6y+1）师后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多