第34讲合情推理与演绎推理【考点解读】1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作 用。2 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。【知识扫描】1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2. 合情推理包括 和;归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、.3. 演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为： M是P,，S是P;其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断4. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以 及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培 养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.【考计点拨】牛刀小试：1 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A 三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形解析：选C因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平 行，故选C.2由和5,专送，若ab0且m，则牛也与?之间大小关系为（）10 811 10 25 21a+ m aA .相等B .前者大C.后者大D 不确定3 .下列推理是归纳推理的是 （）A . A, B为定点，动点 P满足|FA|+ |PB|= 2aAB|，得P的轨迹为椭圆B. 由a1= 1, an= 3n 1,求出3, $, &，猜想出数列的前 n项和Sn的表达式2 2C. 由圆X2 + y2 = r2的面积n2，猜想出椭圆勺+匕=1的面积S= naba bD 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S1, S2, S3猜想出数列的前 n项和Sn,是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.4 .给出下列三个类比结论. (ab)n = anbn与(a+ b)n类比，则有(a + b)n= an + bn; loga(xy)= logax+ logay 与 sin( a+ 3 类比，则有 sin( a+ 3 = si nosin 3; (a + b)2= a?+ 2ab + b?与(a+ b)?类比，则有(a + b)2= a?+ 2a b+ b?.其中结论正确的个数是()A . 0B. 1C. 2D. 3解析：选B.正确.5. 已知数列2008,2009,1 , - 2008, - 2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等 于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于.解析：数列前几项依次为 2008,2009,1 , - 2008 , - 2009,- 1,2008,2009,每6项一循环,前6项之和为0,故前2009项包含334个周期和前=1.答案：1典例分析考点一：归纳推理例 1.已知：sin2 30 sin290 sin2150 =?；2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：解：一般形式：sin25 个数，故其和为 2008 + 2009+ 1 2008-20093291 -cos（2-：120 ）1 - cos（2j 240 ）2 2 23 1=- cos 2二川 cos（2u 川-120 ） cos（2w 240 ）2 23 1厂尹曲 cos2 co420sin2： sin120 cos2cos240 -sin2sin240=3cos2一 1cos2：sin2 1cos2：2in22 2 2 2 2 2（将一般形式写成sin2（： -60）sin2：sin2（：60工3 ,22223sin（: -240 ） sin （： -120 ） sin等均正确。）2变式训练 1 ：设 f（x） =COSX, f （x） = f （x） , f2（X）= f （x）J|, fn 1（X）= fn （x） , n N,则f2008 (x)解：cosx，由归纳推理可知其周期是4点评：归纳推理是个别事实中推演出一般性规律, 考点二：类比推理例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形,按图所标边长，由勾股定理有：c2二a2 b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD且AB=a，AC=d，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是r匚兰。2点评：类比推理和归纳推理都是合情推理，要根据已有的事实和正确的结论（包括定义，公理， 定理等），实验和实践的结果，以及个人的经验和直观等推测某些结果。具有猜测和发现结论，探 索和提供思路的作用，有利于创新意识的培训。2 2例3.请你把不等式“若aia?ai,a2是正实数，则有 一 -一 a a： ”推广到一般情形，并证明你a2 a的结论。答案：推广的结论：若aa2, ,an都是正数,2 2生鱼.a3a22+ 亚兰 ai + a? *an4ai证明:2anan-ai, a2, an都是正数2aia 2ai，a22a2_ y _ 2a2ai2-aia。a2a32an 4一 anan- 2an 4，2anaiai-2an2an2an - ai aia2an变式训练3:观察式子:1 22弓1 ? *詣1 i2 3讣4，则可归纳出式子为（A、1 ；12； ：1B2232n2 2n -111 221321 1n2 2n 12232n2n1 1 1 1亠2 2 2 -23 n2n2n 1答案：G解析：用n=2代入选项判断。考点三：演译推理例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a 平面，直线b /平面：，则直线b /直线a ”的结论显然是错误的，这 是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。变式训练4:AC,BD是菱形ABCD勺对角线，.AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分 归纳小结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜 测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律为我们提供证明的思路和方法而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行