竞赛中的三角函数例题选讲【内容综述】一三角函数的性质1正，余弦函数的有界性对任意角，2奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称3单调性y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。4周期性y=sinx与y=cosx的最小正周期是2，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是。【例题分析】 例1 已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。解 因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，所以，图只需覆盖的一个最值点即可。令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即综上可知，所求的K 为满足的一切实数。例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。解 原方程组可化为因为所以令 ，则在上是单调递增的，于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（并予以证明）函数解 首先，对任意，均有这表明，是函数f(x)的一个周期其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有在上式中，令x=0，则有。两边平方，可知即 sin2T=0，这表明，矛盾。综上可知，函数的最小正周期为。例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d证，构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=10.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d对上述两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind)=sindsin(cosc)=c显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知对任意实数x，均有求证：证 首先，f(x)可以写成其中是常数，且，在式中，分别令和得+，得又在式中分别令，得由+，得【能力训练】（A组）1求函数的单调递增区间2已知是偶函数，求3设，试比较的大小。4证明：对所以实数x,y，均有5已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。（B组）6已知，且满足：（1）；（2）；（3）。求f(x)的解析式7证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式8已知当时，不等式恒成立，求的取值范围。9设，求乘积的最大值和最小值。参考答案【能力训练】A组12由偶函数的定义，有上式对任意成立，故所以3首先，又，即4只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,n,k,使得即 矛盾5由题设，得即 由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1t0时，有此方程组与联立后无解（2）当且b0且有此方程组与联立后无解。（4）当a0且，有此方程组与联立后无解，得上可知，。7原不等式等价于若，则若故原不等式成立8令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化为由于结合原不等式对任意x0，1都成立，可知取最小值亦成立，即9由条件知，于是