第六节对数与对数函数第六节对数与对数函数第三章第三章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读1.理解对数的概念及运算性质,了解换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念,掌握对数函数的图象及其应用.3.掌握对数函数的性质及其应用.4.了解指数函数与对数函数互为反函数.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.对数的概念(1)定义:一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数叫做以a为底N的对数,记作x=,其中a叫做对数的,N叫做.(2)常用对数与自然对数:常用对数:以为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为.自然对数:以为底的对数称为自然对数,并把logeN记为.xlogaN底数真数10lgNelnN2.对数的性质(1)没有对数;(2)loga1=,logaa=;(3)对数恒等式:(a0,a1,N0).负数和0013.对数的运算性质(1)如果a0,且a1,M0,N0,那么:loga(MN)=;loga=;logaMn=(nR).(2)换底公式:logab=(a0,且a1;b0;c0,且c1).换底公式的实质是将一个对数化为两个同底数的对数的商 logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM4.对数函数及其图象与性质(1)对数函数的概念函数y=叫做对数函数,其中x是自变量,定义域为.(2)对数函数的图象与性质logax(a0,且a1)(0,+)a的取值范围0a1图象定义域值域性质过定点(1,0),即x=1时,y=0这是由于loga1=0函数函数(0,+)R 减增微思考如何确定对数型函数y=kloga(mx+n)+b(a0,且a1,k0,m0)图象所过的定点?微点拨函数y=loga|x|与y=|logax|(a0,且a1)的性质(1)函数y=loga|x|是偶函数,图象关于y轴对称,当a1时,在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当0a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为,它们的定义域与值域正好互换.微点拨只有当函数在定义域上是单调函数时,才存在反函数.反函数常用结论3.lg2+lg5=1.4.对数值的符号法则:logab0(a-1)(b-1)0,logab0(a-1)(b-1)0,a1,b0.6.在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.7.对于函数f(x)=|logax|(a0,且a1),若f(m)=f(n)(mn),则必有mn=1.8.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若a0,a1,M0,N0,则loga(M+N)=logaM+logaN.()(2)若a0,a1,b0,b1,则logablogbc=logac.()(4)函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1)在其定义域上单调递增.()2.已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)=()A.2e2B.2eC.1+ln2D.2ln2答案C解析因为函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以y=f(x)与y=ex互为反函数,所以f(x)=lnx,所以f(2e)=ln(2e)=1+ln2,故选C.3.若已知logx+3(x2+3x)=1,则实数x等于()A.-3B.1C.-3或1D.0或1答案B解析由对数的性质可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.但当x=-3时,x+3=0,x2+3x=0,对数式无意义;当x=1时,符合题意,故x的值等于1.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一对数的概念与运算数的概念与运算典例突破例1.(1)(多选)(2023云南昆明一中模拟)下列计算正确的是()(2)(多选)若10a=4,10b=25,则()A.a+b=2B.b-a=1C.ab8lg22答案(1)BD(2)AC规律总结对数运算的常用方法与技巧(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简合并.(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.(4)通过换底公式的运用,转化对数的底数,再进行化简合并.答案(1)C(2)D考点二考点二对数函数的数函数的图象及其象及其应用用典例突破例2.函数y=|lg(x-1)|的图象是()答案C解析将函数y=lgx的图象先向右平移1个单位长度,可得到函数y=lg(x-1)的图象,再将所得函数图象位于x轴下方的图象关于x轴翻折,位于x轴上方的图象不变,可得到函数y=|lg(x-1)|的图象,故选C.突破技巧对数函数图象的应用技巧(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点等排除不符合要求的选项.(2)对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调区间、值域、零点等问题时,可利用数形结合的思想.(3)对于一些对数型方程、不等式等问题,通常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合进行求解.(2)已知函数f(x)=|lgx|,若f(lgm)f(2),则实数m的取值范围是.对点训练2(1)已知函数f(x)=loga(x-b)(a0,且a1)的图象如图所示,则以下说法正确的是()A.a+b0B.ab-1C.0ab0解析(1)由题图可知f(x)在定义域内单调递增,所以a1.令f(x)=loga(x-b)=0,得x=b+1,所以函数f(x)的零点为b+1,结合函数图象可知0b+11,所以-1b0,故A错误;由选项A中分析,得-aab1,所以-a-1,因此ab-1不一定成立,故B错误;因为0|b|1,所以loga|b|loga1,即loga|b|bcB.acbC.bcaD.cba(2)(多选)(2023山东青岛三模)已知实数a,b,满足ab0,lnalnb=1,则()A.abe2B.loga2b0,则lnb-lna0,loga2-logb20,即loga2b0,且lnalnb=10,可得lna,lnb同号,若lna,lnb同正,则aeb1,(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+10,确;对于D,ab0,即a-b0,函数y=xa-b在(0,+)上单调递增,aa-bba-b0,aabbabba,故D正确.故选BCD.方法点拨比较对数值大小的方法 若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论若底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较对点训练3(1)(2023辽宁沈阳三模)已知a=log53,b=log138,c=,则下列判断正确的是()A.abcB.acbC.cabD.bcb1,0m1,则()A.ambmB.mambC.logmalogmbD.logamlogbm答案(1)C(2)BC(2)对于A,幂函数y=xm(0mb1,可知ambm,故A错误;对于B,指数函数y=mx(0mb1,可知mamb,故B正确;对于C,对数函数y=logmx(0mb1,可知logmalogmb,故C正确;对于D,由C可知logmalogmblogbm,故D错误.故选BC.考向2.对数型函数奇偶性的应用典例突破答案B突破技巧求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求求出函数的定义域,所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1的关系,分a1与0a1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性对点训练4(多选)(2023山东临沂一模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以为()答案 BD解析f(x)=x3g(x)是偶函数,f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),g(x)是R上的奇函数.对于A,定义域为(-1,1),不满足题意;对于B,定义域为R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),考向3.对数函数性质的综合问题典例突破例5.(多选)已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8)(mR),则下列说法正确的是()答案AC突破技巧解决对数函数综合应用问题的策略(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求,这是解决对数问题的出发点.(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形,这是研究性质的重要途径.(3)注意等价转化思想方法的合理运用,这是解决对数综合问题的关键.对点训练5(1)已知函数f(x)=-1,下列说法正确的是()A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数B.f(x)的图象与y=sinx的图象有无数个交点C.f(x)的图象与直线y=2只有一个交点D.f(-2)f(2m)的解集为(-1,+)D.函数f(x)的图象关于直线y=x对称CAD