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戴氏教育 戴氏精品堂 万年场总校 2012初二VIP数学课程 第2讲 杨老师(15828684656) 第2讲 DSE五星课程 实数 完全平方 二次根式 规律探索一、导入祖冲之(429-500),中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家。祖冲之的祖父名叫祖昌,在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里,从小就读了不少书,人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学,也喜欢研究天文历法,经常观测太阳和星球运行的情况,并且做了详细记录。宋孝武帝听到他的名气,派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣,但是在那里,可以更加专心研究数学、天文了。我国历代都有研究天文的官,并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候,历法已经有很大进步,但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果,创制出一部新的历法,叫做“大明历”(“大明”是宋孝武帝的年号)。这种历法测定的每一回归年(也就是两年冬至点之间的时间)的天数,跟现代科学测定的相差只有五十秒;测定月亮环行一周的天数,跟现代科学测定的相差不到一秒,可见它的精确程度了。公元462年,祖冲之请求宋孝武帝颁布新历,孝武帝召集大臣商议。那时候,有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对,认为祖冲之擅自改变古历,是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他,蛮横地说:“历法是古人制定的,后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说:“你如果有事实根据,就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴,找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论,也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后,他创制的大明历才得到推行。尽管当时社会十分动乱不安,但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学著作九章算术作了注释,又编写一本缀术。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究,他计算出圆周率在31415926和3.1415927之间,成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。祖冲之在科学发明上是个多面手,他造过一种指南车,随便车子怎样转弯,车上的铜人总是指着南方;他又造过“千里船”,在新亭江(在今南京市西南)上试航过,一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨,舂米碾谷子,叫做“水碓磨”。祖冲之晚年的时候,掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。-二、当堂过手训练(快练五分钟,稳准练奇功)1下列命题中,假命题是( )(A)9的算术平方根是3 (B)的平方根是2(C)27的立方根是3 (D)立方根等于1的实数是12在二次根式, , , , 中,最简二次根式个数是( )(A)、1个 (B)、2个 (C)、3个 (D)、4个(2)下列各组二次根式中,同类二次根式是( ) (A),3 (B)3, (C), (D),3. 化简并求值,其中a2,b241的倒数与的相反数的和列式为 ,计算结果为 5()2的算术平方根是 ,27的立方根是 ,的算术平方根是 ,的平方根是 . 6如果x2a,已知x求a的运算叫做 ,其中a叫做x的 ;已知a求x的运算叫做 ,其中x叫做a的 。7()2的平方根是 ,9的算术平方根是 , 是64的立方根。8当a0时,化简a 。9若=2.249,=7.114,=0.2249,则x等于( )(A)5.062 (B)0.5062 (C)0.005062 (D)0.0506210设x是实数,则(2x3)(2x5)16的算术平方根是( )(A)2x1 (B)12x (C)2x1 (D)2x111x为实数,当x取何值时,下列各根式才有意义:(1)( )(2) ( )(3)( ) (4) ( )(5) ( )(6)( )712等式成立的条件是( )(A)22 (D)x3三、专题讲解:知识点平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化大纲要求1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根(包括利用计算器及查表);2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质,会化简简单的二次根式,能根据指定字母的取值范围将二次根式化简;3.掌握二次根式的运算法则,能进行二次根式的加减乘除四则运算,会进行简单的分母有理化。内容分析 1二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子叫做二次根式注意被开方数只能是正数或O (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式 (3)同类二次根式 化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式 2二次根式的性质 3二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类三次根式分别合并 (2)三次根式的乘法 二次根式相乘,等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即 二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个三次根式互为有理化因式 (3)二次根式的除法 二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分)把分母的根号化去,叫做分母有理化考查重点与常见题型1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高,习题类型多为选择题或填空题。2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。3.考查二次根式的计算或化简求值,有关问题在中考题中出现的频率非常高,在选择题和中档解答题中出现的较多。计算及化简:(1)(7)2 (2) (3)(4)(b1) (5)(x3y)(6)(6)(4)(23)2(7)已知方程422230无实数根,化简6四、变式练习1下列命题:(1)任何数的平方根都有两个(2)如果一个数有立方根,那么它一定有平方根(3)算术平方根一定是正数(4)非负数的立方根不一定是非负数,错误的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42已知=0.794,=1.710,=3.684,则等于( )(A)7.94 (B)17.10 (C)36.84 (D)79.43当1xa)7计算:(2)()8已知a,b,求a25abb2的值。9计算:93 10化简:11.设的整数部分为,小数部分为,求22的值。五、巩固练习1的倒数是 ;的绝对值是 。2的有理化因式是 ,的有理化因式是 。3与的关系是 。4三角形三边a7,b4,c2,则周长是 。5直接写出答案:(1) ,(2)= ,(3)(2)8(2)8= 。6如果的相反数与互为倒数,那么( )(A)a、b中必有一个为0 (B)ab(C)ab1 (D)ba17如果(x2)(3x),那么x的取值范围是( )(A)x3 (B)x2 (C)x3 (D)2x38把(ab)化成最简二次根式,正确的结果是( )(A) (B) (C) (D)9化简3x的结果必为( )(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)不能确定10计算及化简:(1)(53) (2)42(1)0(3)(+) (4) (ab)11.已知,求(的值x2)。12.先化简,再求值:( + )+ 。其中x=2 - ,y=2 + 13.设的整数部分为m,小数部分为n,求代数式mn的值。14.试求函数2的最大值和最小值。15.如果1424,那么23的值六、拓展训练1、已知实数满足,则_;2、化简_; 3、已知,则_4、设的整数部分为,小数部分为,则_;5、设等式在实数范围内成立,其中两两不同,则_;6、使等式成立的整数对的个数为_;7、设正整数满足,则这样的的取值有_组;89、已知,则_。10、若为有理数,且,则的值为_。11、已知,则 _。12、若适合关系式,求的值。13、当时,化简二次根式。14、化简的结果是_。15、已知,则等于( ) A. B. C. D.16、已知,化简。17、多重二次根式的化简:(1); (2)。18、_;19、_;20、_;【拓展】化简= 。二次根式的非负性1、若,则=_
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