用待定系数法求三角函数最值 用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。例1. 设x（0，），求函数的最小值。分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。因为sinx0，所以。故ymin=2。显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2，这样的x不存在，故为错解。事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数（02，使。由均值不等式及正弦函数的有界性，得。当且仅当且sinx=1，即=时，上式等号成立。将=代入，得ymin=。另解：y=。令sinx=t(0t1，易证在（0，1上单调递减，所以。例2. 当x(0，)时，求函数的最小值。分析：因为x(0，)，所以sinx0，cosx0，引入大于零的待定系数k，则函数可变形为+kcos2xk3+k=12，等号成立当且仅当，时成立。由sin2x+cos2x=1,。得，即k2=64，又k0，所以k=8。故函数y的最小值为，此时x=。例3. 设x(0，)，求函数y=sinx+的最小值。分析：因为x(0，)，所以sinx0，y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。解：因为x(0，)，所以sinx0。因为故，等号当且仅当且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而，故函数y=sinx+的最小值为2。例4. 求函数y=sin2xcos2x+的最小值。分析：易得，由均值不等式得。但，故上式不能取等号。于是引入待定正实数，且+=4，则有=。当且仅当且sin22x=1时等号同时成立，此时，所以当sin22x=1时，y有最小值为。第1页（共3页）-