2020-2021 学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十三章轴对称13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题知识点1:等腰三角形的判定与性质【例1】（2019秋孝昌县期末）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行,10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得ZNAC = 42。，ZNBC = 84。，则B处到灯塔C的距离为（)A. 15海里B. 20海里C. 30海里D.求不出来【解答】解：根据题意得：AB = 2x 15 = 30 （海里），ZNAC = 42。，ZNBC = 84。:/C = ZNBC - ZNAC = 42。 :Z C = ZNAC:BC = AB = 30 海里.即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.故选： C .【变式 1-1】 （2019秋洛江区期末）如图，在AABC中，AB = 4，AC = 6，ZABC和ZACB的平分线交 于点E，过点E作MN /BC分别交AB、AC于M、N，则AAMN的周长为（）AA10B6C4D.不确定解答】解： MN / / BC ，.ZAMN 二 ZABCBE平分ZABC:.Z ABC = 2ZMBE.Z AMN = 2ZMBEZAMN = ZMBE + ZMEB.Z MBE 二 ZMEB :.MB = ME同理，NC = NE:.C= AM + ME + EN + AN = AB + AC = 10AAMN故选： A .【变式1-2 （2020春九江期末）如图，AABC是等腰三角形，AB = AC , ZA = 20。, BP平分ZABC ；点D是射线BP上一点，如果点D满足ABCD是等腰三角形，那么ZBDC的度数是.【解答】解：当BC = CD时，如图所示,ZA = 20。，AB = AC .Z ABC = 80。BP平分ZABC.Z CBD = 40。BC = CD:.Z CBD = ZBDC = 40。 当BD = BC时，如图所示,ZA = 20。, AB = AC.Z ABC = 80。BP平分ZABC:.Z CBD = 40。 BD = BC:.Z BDC = 70。当DB = DC时,如图所示,ZA = 20。, AB = AC.Z ABC = 80。 BP平分ZABC:.Z CBD = 40。 BD = CD:.Z BDC = 100。 故答案为：40。、70。或100。【变式1-3】（2020春沙坪坝区校级月考）如图，AABC中，BF、CF分别平分ZABC和ZACB，过点F作DE/BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论:ZDFB = ZDBF ；ZECF = ZEFC ；AADE的周长等于ABFC的周长；ZBFC = 90。+ -ZA 其中正确的是2【解答】.解：BF是ZABC的角平分线,:上 ABF = ZCBF又 DE /BC，:.Z CBF = ZDFB ：./DBF = ZDFB，故正确； 同理ZECF = ZEFC，故正确； 假设AABC为等边三角形，则AB = AB = BC，如图，连接AF上DBF = ZDFB , ZECF = ZEFCBD = DF , EF = EC .AADE 的周长=AD + DF + EF + AE = AD + BD + AE + EC = AB + ACF是ZABC , ZACB的平分线的交点第三条平分线必过其点，即AF平分ABAC AABC为等边三角形，.Z BAC = ZBCA = ZABC = 60。:上 FAB = ZFBA = ZFAC = ZFCA = 30。FA = FB = FCFA + FC AC:FB + FC AC:FB + FC + BC BC + AC:FB + FC + BC AB + AC即ABFC的周长AADE的周长，故错误；在 AABC 中，ZBAC + ZABC + ZACB = 180。. (1),在 ABFC 中 ZCFB + ZFBC + ZFCB = 180。 即 ZCFB +1 ZABC + 1 ZACB = 180。. (2)，22(2) x2 (1)得ZBFC = 90。+1 ZBAC，故正确；2故答案为点D是BC边上一【变式 1-4】 (2020江干区一模)已知：如图，在AABC中，AB AC，ZB = 45。点，且AD = AC，过点C作CF丄AD于点E，与AB交于点F .(1)若ZCAD =a，求： ZBCA的大小； ZBCF的大小；(用含a的式子表示)(2)求证：AC = FC .【解答】（1）解：AD = AC，ZCAD =a.Z BCA = 2(18QP-a) = 90。 | a过点A作AG丄BC于点G，如图所示:.Z DAG + ZADG = 90.cag sg=2 zcad=2CF丄AD于点E Z DCE + ZADG = 90 DCE = ZDAG = 2 ZCAD = 2 a(2)证明：ZB = 45，AG 丄 BC Z BAG = 45ZBAC = 45+ ZCAG，ZAFC = 45 + ZDCE，ZDCE = ZDAG，ZCAG = ZDAG ZBAC 二 ZAFC AC = FC【变式1-5 （2020青山区校级模拟）如图，在AABC中，ED /BC , ZABC和ZACB的平分线分别交ED 于点 G、F，若 BE = 6，DC = 8，DE = 20，求 FG .解答】解：ED / /BC ，/.Z EGB = ZGBCZDFC = ZFCBZGBC = ZGBEZFCB = ZFCD:.Z EGB = ZEBGZDCF = ZDFC/ BE = EG ， CD = DF ，BE = 6 ， DC = 8 ， DE = 20 ，/ FG=DEEGDF =DEBECD=2068=6知识点2:等边三角形的判定与性质【例2】（2018秋襄州区期中）如图，AABC是等边三角形，DE /BC，若AB = 5，BD = 3，则AADE的周长为（)A2B6C9D15解答】解： AABC 为等边三角形，/.ZA = ZB = ZC = 60 ,DE / / BC ，/Z ADE = ZAED = ZB = ZC = 60 ，:.AADE为等边三角形,AB = 5 ， BD = 3 ，./ AD = AB BD = 2 ./AADE的周长为6,故选：B【变式2-1】（2016陕西一模）已知：如图，在AABC中，D为BC的中点，AD丄BC , E为AD上一点,A10。B 15。C 20。D 25。【解答】解：D为BC的中点，AD丄BC AD是BC的线段垂直平分线,E是AD上一点， EB = EC Z EBD = ZECD又 ZABC = 60。, ZECD = 40。 Z ABE = 60。一 40。= 20。故选： C 【变式2-2】（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6, E , F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的ADEF的周长是【解答】解：等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点,EF = 2，AABC 是等边三角形Z B = ZC = 60。 ， 又 DE/AB，DF/AC ZDEF =ZB=60。， ZDFE=ZC=60。， ADEF是等边三角形，剪下的ADEF的周长是2x3 = 6 故答案为： 6【变式2-3】(2019秋江阴市期中)在下列结论中：有三个角是60。的三角形是等边三角形；有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形；有一个角是60。，且是轴对称的三角形是等边三角形；有一 腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的 .【解答】解：有三个角是60。的三角形是等边三角形，正确； 有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形，正确； 有一个角是60。，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确. 有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，正确； 故答案为【变式2-4】 (2020春太平区期末)已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM，ACBN都是等边三 角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F .(1) 求证：AN = BM ；(2) 求证： ACEF 为等边三角形【解答】证明：(1) AACM，ACBN是等边三角形，AC = MC，BC = NC，ZACM = ZNCB = 60.ZACM + ZMCN = ZNCB + ZMCN，即 ZACN = ZMCB 在AACN和AMCB中，AC = MCv ZACN = ZMCB，NC = BC A ACN = AMCB( SAS)AN = BM(2) ACAN = ACMB Z CAN = ZCMB 又 ZMCF = 180。 ZACM ZNCB = 180。 60 60 = 60/.Z MCF = ZACE 在NCAE和ACMF中,ZCAE = ZCMF/ CA = CMZACE = ZMCF /.A CAE = ACMF (ASA)/. CE = CF/A CEF 为等腰三角形，又 ZECF = 60。/.ACEF为等边三角形.【变式2-5 (2019秋越秀区校级期中)如图,已知AABC是等边三角形,D是边AC的中点,连接BD ,EC丄BC于点C，CE = BD .求证：AADE是等边三角形.【解答】证明：AABC是等边三角形，D为边AC的中点,./ BD 丄 AC ,即 ZADB = 90。 EC 丄 BC./Z BCE = 90./ZDBC + ZDCB = 90 , ZECD + ZBCD = 90/.Z ACE = ZDBC在ACBD和AACE中一 BD = CE ZDBC = ZACE、BC = AC ./A CBD = AACE( SAS)/. CD = AE , ZAEC = ZBDC = 90D为边AC的中点，ZAEC = 90/. AD = DE,/. AD = AE = DE即AADE是等边三角形，知识点3：含30度角的直角三角形【例3】（2020春竞秀区期末）已知在直角三角形中30。角所对的直角边为2,则斜边的长为（）A2B4C6D8【解答】解：在RtAABC 中，ZC = 90。，ZA = 30，BC = 2AB = 2BC = 2 x 2 = 4故选： B