一、人口增长模型1. 问题下表列出了中国19821998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0）,人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相 应的算法和程序，并与实际人口相比较：时间（年）198219831984198519861987人口（万 人）101654103008104357105851107507109300时间198819891990199119921993人口111026112704114333115823117171118517时间19941995199619971998人口119850121121122389123626124810从图中我们可以看到人口数在19821998 年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上 述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模 型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人 口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而 呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1假设：人口增长率r是常数.2建立模型：记时刻t=0时人口数为X,时刻t的人口为X （t），由于量大，X （t）可以视为连续、可微函数，t到t+ At时间段人口的增量为：X（t + 山）X（t）二 rX （t）Atdx v 、=rX于是X（t）满足微分方程：dtf（1）X （0） = X 003模型求解：解得微分方程（1）得：X（t） = X 0 er（t-10（2）表明：t g 时，X g（r. 0） t4.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1通过Matlab拟合：程序：x=1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998;X=ones(17,1),xY=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X); %回归分析b,bint,stats%输出这些值 rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间 z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,k+,x,z,r) %预测及作图运行结果：b =1.0e+006 *-2.84470.0015bint =1.0e+006 *-2.9381 -2.75130.0014 0.0015 stats =1.0e+005 *0.0000 0.04551.9800图 1 各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。从拟和的结果我们得到在上图的拟和效果下：r = 0.014,Xo = 101654，进而把它们代入式(2)我们计算得出如下表：这里用程序计算 程序：x=1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998;y=101654.000*exp(0.014*(x-1982);digits(7) ;y1=vpa(y) %定义所求的值 y1 精确到小数点后 7 位；;表 2：人口数 模型 万人)实际人口马萨尔模型Logistic 模型1982101654101654.0101694.91983103008103087.2102719.61984104357104540.5103750.41985105851106014.4104787.31986107507107509.0105830.41987109300109024.7106879.51988111026110561.8107934.51989112704112120.6108995.51990114333113701.3110062.41991115823115304.3111135.11992117171116929.9112213.51993118517118578.5113297.71994119850120250.2114387.41995121121121945.6115482.81996122389123664.8116583.71997123626125408.3117690.01998124810127176.4118801.7模型结果分析：指数增长模型在一定的社会发展下反映了人口的发展情况，马尔萨斯模型很好反映了人 口变化发展，人口增长趋势呈指数增长；但是由于资源及其其他因素的影响，人口增长不 会一直按指数增长，所以人口的增长应该还受到其他因素的影响，这是指数模型无法反映 和处理的,所以要更准确地预测 1998 的人口就必须对马尔萨斯模型进行改进。因此我们在 马尔萨斯模型的基础上进行修改得到了模型二：阻滞增长模型(Logistic模型)模型二：阻滞增长模型(Logistic模型)1、模型假设：人口的增长率不是常数，而是关于人口数量的线性递减函数2、模型变量和函数的定义:人口增长率r为人口 X(t)的函数r(x)(减函数)，最简单假定：r (x) = r 一 sx, s 0，r 叫做固有增长率环境所能容纳的最大人口数量Xm3、模型建立：r当X=X时，增长率应为0,即r(X )二0，于是s =，代入r(x) = r - sx，得:m m X3)mr (x) = r (1 -)Xmdx 小 X r r (1 ) X 将(3)代入(1)式得： dtXmX (0)二 X4、模型的求解：5）X解方程(4)得：X(t)二X 以1 + ( m 1)e-r(t-t0)X00dx根据方程作出dt-x曲线图，如图2,有该图可以看出人口增长率随人口增长的变化5、模型的参数估计：规律，根据结果（5）作出x-1曲线，如图3,由此图可以看出人口数随时间的变化规律:将 r=0.014， X =360000（万）代入公式（5），求出用指数增长模型预测的 19821998 m的人口见表2：这里用程序：x=1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998;y=360000./(1+2.54*exp(-0.014*(x-1982);digits(7)y1=vpa(y)运行结果：y1 = 101694.9, 102719.6, 103750.4, 104787.3, 105830.4, 106879.5, 107934.5, 108995.5, 110062.4,111135.1, 112213.5, 113297.7, 114387.4, 115482.8, 116583.7, 117690.0, 118801.7 6、模型结果分析：阻滞增长模型在某种程度上较好地反映了人口的增长规律，特别是在预测现代社会人口 发展趋势有较高的科学性。因为现代社会人口已经达到一定的饱和程度，社会因素对人口的 发展产生了很大的影响，比如粮食资源，水资源，环境问题已经对人类的可持续发展构成了 约束作用。因此，作为中长期预测，阻滞增长模型比马尔萨斯模型要合理一些。2. 配料问题：摘要：根据原料配比，对已给参数进行分析处理，求最优解。针对问题一，在总成本最低的情况下，根据配比需求，建立线性规划模型，用求解线性规 划的基本方法单纯形法，求解。即根据决策变量，在给定的约束条件下求解使成本最低的最 优化目标函数。一、 问题的提出：为了适应市场经济发展，降低成本，追求最大利益。设用n种Bl, B2二、问题的假设、符号的约定：l 问题的假设(1)原料的单价是不变的。( 2)各种原料含有元素的百分含量标准并且是可靠准确的。(3) 对于各种原料之间的反应及整体质量的变化忽略不计。(4) 不考虑其他随机因素的影响。2.符号的约定：B :生产此产品所需的n种原料(n=1, 2n )；nA :此产品所含有的m种成分(m=1,2.m)；ma :产品所含各个成分的量(m =1, 2， m)；mb :原料B的单价(j =1，2， n);jjc : B 中含有 A 的数量；ijjix :生产此产品中所需的B的量；nnS :生产此产品的总成本。三、问题的分析“根据假设原料在一定时期内单价是固定的，则以生产此产品的最低成本为最优目标，以各 种原料的选取量为决策变量，此产品对各种原料所需要的百分含量和对各原料的需求范围以 及国家对产品的规定为约束条件，建立议案性规划模型。四、模型的建立及求解：1 模型的建立 我们的目标是成本最低，即使得在满足约束条件的前提下，使不同价格的原料得到充分 利用并合理搭配达到成本最低，以使最后的各单价与原料选取数量乘积最小。 在此问题中，产品所需原料的单价在一定时期内是稳定的，为：B= b ,b ,b ,b ;1 2 3 nn 1 2 n目标函数为：minS= xb + x b + x b +x b1 1 2 2 3 3 n n各种原料的选取量为：X二(x ,x ,.x )问题的数学模型为：(1) 确立问题的决策变量：即xl,x2,xn.分别为第一到第n种原材料所需的质量。(2) 确定问题的约束条件:x c + x c + x c +x c a1 11 2 12 3 13 n 1 n1x c + x c + x c +x c a1 21 2 22 3 23 n 2 n2+ x c an mn mx c + x c + x c +1 m12 m 23 m 32.用Matlab求解可得到最优解程序如下：c=b ,b ,b ,b ;1 2 3 nA=cll,cl2,cl3,cln;c21,c22,c23,c2n;cml,cm2.cm3,cmn;b=al;a2;a3;a4;am;Aeq=;beq=;vlb=O;O;O;O;0;vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)五、.模型的评价和改进1 模型的