第二节 等差数列及其前n项和限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018北京东城区二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，a33，a55，则S7的值是()A30B29C28 D27解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d1，故a4a3d4，所以S77428.故选C.2(2018唐山统考)等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8等于()A18 B12C9 D6解析：选D.由题意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故选D.3在等差数列an中，a12 017，其前n项和为Sn，若2，则S2 020()A2 020 B2 020C4 040 D4 040解析：选C.设等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则AnB，是等差数列2，的公差为1，又2 017，是以2 017为首项，1为公差的等差数列，2 0172 01912，S2 0204 040.故选C.4(2018山西太原模拟)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数yx210x的图象上，等差数列bn满足bnbn1an(nN*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()ASn2Tn Bb40CT7b7 DT5T6解析：选D.因为点(n，Sn)(nN*)在函数yx210x的图象上，所以Snn210n，所以an2n11，又bnbn1an(nN*)，数列bn为等差数列，设公差为d，所以2b1d9,2b13d7，解得b15，d1，所以bnn6，所以b60，所以T5T6，故选D.5(2018江西南昌模拟)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升 B升C.升 D升解析：选B.设该等差数列为an，公差为d，由题意得即解得a54.故选B.6(2018山东五校联考)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：选D.an是等差数列，则ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以an是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a13，a22，d1，则a12a2，故nan不是递增数列，p2不正确；d，当a1d0时，递减，p3不正确；an3nd4nda1d,4d0，an3nd是递增数列，p4正确故p1，p4是正确的，选D.7(2018揭阳质检)数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，则a8等于()A0 B3C8 D11解析：选B.bn为等差数列，设其公差为d，由b32，b1012，7db10b312(2)14，d2，b32，b1b32d246，b1b2b77b1d7(6)2120，又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a83，a830，a83.故选B.8(2018日照二模)若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10的k值为_解析：因为3an13an2，所以an1an，所以数列an是首项为15，公差为的等差数列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10的k值为23.答案：239(2018长春模拟)张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织_尺布解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为an，其中a15，前30项和为390，于是有390，解得a3021，即该女最后一天织21尺布答案：2110(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q，由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列B级能力提升练11(2018潍坊模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解析：选D.由已知条件得，即，所以anan1，所以等差数列an为递增数列又1，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.12如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析：选A.作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，Cn，则A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.设|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，则|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a(n3)，Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，数列Sn是等差数列13(2018南充模拟)已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为_解析：1，且Sn有最大值，a100，a110，且a10a110，S1919a100，S2010(a10a11)0，故使得Sn0的n的最大值为19.答案：1914(2018山东菏泽二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，满足a1a210，S540.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn|13an|，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意知，a1a22a1d10，S55a340，即a38，所以a12d8，所以所以an4(n1)22n2.(2)令cn13an112n，bn|cn|112n|设数列cn的前n项和为Qn，则Qnn210n.当n5时，Tnb1b2bnQnn210n.当n6时，Tnb1b2bnc1c2c5(c6c7cn)Qn2Q5n210n2(52105)n210n50.Tn15(2018惠州市二调)在公差不为0的等差数列an中，a1，a4，a8成等比数列(1)若数列an的前10项和为45，求数列an的通项公式；(2)若bn，且数列bn的前n项和为Tn，若Tn，求数列an的公差解：(1)设数列an的公差为d(d0)，由a1，a4，a8成等比数列可得aa1a8，即(a13d)2a1(a17d)，解得a19d.由数列an的前10项和为45得10a145d45，即90d45d45，所以d，a13.故数列an的通项公式为an3(n1).(2)因为bn，所以数列bn的前n项和Tn，即Tn，因此1，解得d1或d1.故数列an的公差为1或1.C级素养加强练16(2018湘东五校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，且a5a1334，S39.(1)求数列an的通项公式及前n项和公式；(2)设数列bn的通项公式为bn，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m3，mN)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由解：(1)设an的公差为d，由题意得解得a11，d2，故an2n1，Snn2.(2)由(1)知bn，要使b1，b2，bm成等差数列，必须有2b2b1bm，即2，移项得，整理得m3.因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4.所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列1