广告费用与销售量的关系1.摘要一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成 为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、 不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放 市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策 略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。本文从广告与销售速度 的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来 进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。在模型的分析 中，通过对初始销售速度s0与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品 的初始销售速度对应不同的0最优开始广告宣传时间。本文还进一步考虑了模型的 优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评 估方法。关键字 微分方程 最佳广告宣传时间 线性规划 广告策略2 问题重述目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获 得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的 重要方式。然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告 的效果都是千差万别的。本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均 价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如 下两个问题： （1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮 助企业获得较大的利润。由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就 研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。 （2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。3 问题分析在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之 重的问题。现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从 而实现企业利润更大化。所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立 广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结 果，也就是营销数学的一个侧面广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利 润。4 模型假设1 商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能 影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速 度也趋于它的上限值。2 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。3 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，产品的销售过程和宣传力度均为 连续过程；4 产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；5 商家的信誉度和产品质量是良好的；6 广告具有立时性，一旦宣传就起效应；7 假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度；5 符号说明符号符号说明s (t)t时刻商品的销售速度s0初始销售速度A(t)t时刻广告水平（用费用表示）M销售的饱和水平（即市场对商品的最大容纳能力）衰减因子（即广告作用随时间增长而自然衰减的速度）P响应函数即A(t)对s(t)的影响能力T投入广告的周期T广告时间段地长度t1开始广告销售的时间o每件产品的利润a广告的总费用Q(t)平均利润6 模型的建立与求解6.1 模型一根据广告与销售速度的关系利用微分方程建立模型，通过对初始速度 s 和利 润Q的关系利用规划求解出不同产品的初始销售速度s对应不同的最优开始广 告宣传时间。由假设已知销售速度的变化率与广告宣传力度成正比，但广告只能影响该商 品尚未饱和的部分。且自然衰减是销售速度的一种性质，即是销售速度随商品速 率增加而减少。故建立以下的微分方程：吟=PA(t )(1-兽)-九 s(t)(1)dtM当 A(t) = 0 或 s(t) = M 时都有：=九s (t)(2)dt为了求解(1)式，我们引入下面不同广告的宣传力度进行求解。我们选择一个广告策略(A0 Y t Y T其中 A 为常量。A(t) = |o t在(0, T )时间段内，用于广告的总费用为a，则A = a，代入模型方程(1)有TdsP a+(入 +dtM Ts = P.-3)则有MTP. - = mTds+ ds = m dt其解为s(t) = ce-dt +d若令s (0) = s o，则ms(t) =(1 edt) + s .e dtd04)ds当t T时，模型为一=-九s (t)dt其通解为s = ce-九而 t =T 时，s (t) = s(t )故 s (t) = s (t ).e 九(T-t)故s (t)= Td0s(t )e 入(T-t)A(t)和s(t)的图形如下图所示结果的模型的分析：(1)生产企业若保持稳定销售，即ds/dt=0,那么我们可以根据模型估计采用广告费用PA(t )(1 -晋)-M(t) = 0可得到、九sA(t)=-P(1-且)M(2)在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度s接 近极限速度M的水平时，增加广告所取得的效果更显著。面是某产品投入的广告费与销售量的调查表;销售 周期广告费A(n)白力销售量s (n)白力-A(n) s (n)-s(n)s (n +1) s (n)15.57.38-40.59-7.381.1326.758.51-57.4425-8.511.0137.259.52-69.02-9.52-2.0245.57.5-41.257.51.83579.33-65.31-9.33-1.0566. 58.28-53.82-8.280.47776. 758.75-59.0625-8.75-0.8885.257.87-41.3175-7.87-0.7795.257.1-37.275-7.10.91068-48-8-0.11116.57.89-51.285-7.890.26126.258.15-50.9375-8.150.951379.1-63.7-9.1-0.24146.98.86-61.134-8.860.04156.88.9-60.52-8.9-0.03166.88.87-60.316-8.870.39177.19.26-65.746-9.26-0.261879-63-9-0.25196.88.75-59.5-8.75-0.8206.57.95-51.675-7.95-0.3216.257.65-47.8125-7.65-0.382267.27-43.62-7.270.73236.58-52-80.52478.5-59.5-8.50.25256. 88.75-59.5-8.750.46266.89.21-62.628-9.21-0.94276.58.27-53.755-8.27-0.6285.757.67-44.10257.670.26295.87.93-45.994-7.91.333306.89.26-62.968-9.26下面我们用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将(1)式离散化，得 s (n)Ps(n +1) - s(n) = PA(n)(1 -) 一九s(n) = PA(n) -A(n)s(n) 一九s(n)MMs(n +1) - s(n) = PA(n) + b(-s (n) A(n) + 九(-s(n)上式是关于M,九,P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得6.2 模型二面选择另外的一种广告策略;00 t t1A(t) = At t t + T1在( t ,1t + T)时间内，用于做广告花费a1，则有：A =ds P a a石+(“ M * T) s = PT代入(1)式有:(7)因九,a , M , P, T均为常数，令:P aak +. b kM TT则式可变为竺+ bs Pk dtk则：s (t) ceb +b若令: s(t ) s11(9)k贝U：s(t) (1 e bt)+ s e btb1当 0 t t + T 时，有:11dsk sdt其通解为：s = ce-k而 t 0 时，s(0) s0所以 s(t) s .e -kt101s贝U： t 一一 In 卜1 k s0+ T 时，s (t)所以s(t ) s .e-k(t-T-t1)2故：s .e-九t0(10)“、ks(t) (1 ebt) + s .ebt1 t T +1b 111s .e _九(t-t_q)2销售速度曲线图：下面用v(t)代替s(t)来表示销售速度，v代替s00时间 倜）12345678910111213销售量（台）5604794004855728371123166719341821177316831612由数据拟合可以画出：s(n +1) - s(n) = PA(n)(l ) 一九 s (n)M上式是关于M,九,P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得P =1.412,M =1934,九=0.357由此可解得：b=0.357k=0.064则该产品的广告模型为：dsd- = 1.412 A(t )(1 - dts (t)34)-0.357s(t)t t t + T11(11)由数据检验模型的精度，用(11)式对12周销售量进行预测，结果为1516。而 实际结果是 1612。相对误差是 5.96%。说明模型是可行的。8 模型分析设在产品刚上市后销售量为V,则不同产品将对应不同的V0。可通过对不同 的V0进行讨论，求得最佳开始广告宣传时间-。我们以从产品上市到广告完毕 这段时间内的平均利润达到最大为目标，构成以下最优函数：MaxQ(t) =f eV e-Mdt +t1(1- e-bt ) + V e-bt1