分类转化 分散难点 各个击破分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。二.典例精析例1. 设0x0且a1，比较|log(1x)|与|log(1x)|的大小。（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。解： 0x1 01x1 当0a0，log(1x)0; 当a1时，log(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|。反思提高：1.本题要求对对数函数ylogx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1时其是增函数，当0a1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性；2.我们既要善于分类（有时还必须会主动地去进行分类），又要在不少问题上学会避免分类，在此题上我们就巧妙避开了对绝对值去除的分类讨论。例2.已知0,函数.若在上有最大值,() () = 求的取值范围.分析与简解：去掉绝对值得 由0,0知在上单增;有正有负,因此应 以1为分类标准.1时,在上单增,无最大值;时,的最大值;01时,在单调递增,在上单调递减.的最大值.综上可知,当时,在上有最大值. 反思提炼：确定分类标准是关键，不重不漏是要点！ 1 4 x 1 4 x例3. 设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。思维启动点：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的位置关系进行分类讨论，最后综合得解。解：当a0时，f(x)a（x）2 或或 a1或a；当a 。反思提炼：本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例4. 解不等式0 (a为常数，a)思维启动点： 含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a；4a0 。 所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax4a 。反思提炼：一道简单不等式一旦将一个数字系数改为字母参数，可能就会变得很复杂，这也是高考中参考不衰的问题。本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论。一些问题必须对它们进行分类才能得到解决，而一些问题的解决本无须对它们分类，但这样处理起来却比较困难，此时我们可以人为地将它划分类别，把整体分为若干局部，分散难点，然后各个击破，最终求得问题的整体解决。这是一种具有哲学意义的策略思想。从以下例子可看出，对分类思想的这一种主动应用是必要的且是行之有效的。 例5 对实函数f(x) = x6 x5 + x4- x3 + x2 x +1，求证：f(x) 的值恒为正数。 思维启动点：将f(x) 的表达式分解因式，虽可证得结论但较难，分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。 证明：当x 0时 x5 - x3 - x 0 ， f(x)1恒成立； 当0 x x5 , x2 x3 , 1 x f(x) 0 成立；当x = 1 时, f(x) = 1 0 成立； 当x 1时 f(x) = ( x6 x5 ) + ( x4 x3 ) + ( x2 x ) + 1 x6 x5 , x4 x3 , x2 x f(x) 1成立 综上可知，f(x) 0 成立。反思提炼：此题通过主动分类，分散了难点，在各类下问题的解决变得很简单，是很值得我们学习的一种好方法。 例6 一个定义在有理数集合Q上的函数f(x) ，对一切x , yQ都有f(x+y)=f(x)+f(y). 求证：对任意x Q , f(x) = xf(x) .（此题适合高二年级以上同学学习） 思维启动点；直接求证很难，考虑到当m ,n为互质整数( m 0 )时，n/m Q ,故可将x试分为n ( n N )、0与- n 、1/n ( m N )及n/m几类，从而分散难点、降低难度，分别求解。证明：第一步，证明结论对一切 x N 成立 当x = 1时，f(x) =1f(1)成立； 设x = k ( k N )时结论成立， 则当x = k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)结论也成立； 第二步，证明结论对零和负整数成立 f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) , f(0)=0f(1) 又 f(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0 , f(-n)=-f(n)=-nf(1)， 结论成立； 第三步，证明当x =1/n（n N ）时结论成立 f(1)=f(+)=f()+f()+ +f()=nf() n 个 n 个 f() = () f(1) 同时由f() + f(-) = f(0) 有 f(-)=(-) f(1) 结论成立； 第四步，证明结论对一切有理数成立 设m N、n Z,且n0,对任意有理数 f()=f(+ +)=mf()=f(1) 即结论对一切有理数成立。反思提炼此题的求解从对变量的巧妙划分到各个局部的解决充满了数学的策略和美。尤其是在这样的划分下，一个变量是非自然数的命题居然主要由数学归纳法获得解决！这是通过解决此问题而得到的另一收获。 例7 平面内k个整点（横纵坐标都是整数的点）两两相连得若干条线段，若要保证其中至少一条线段的中点也是整点，k的最小值是多少？ 解 由中点坐标公式X = 知：只有当 X 1、X2同奇偶性时，x才会是整数。于是可对整点进行以下分类：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶）， 由抽屉原理知，当有五个或五个以上整点时，至少应有两个点属于上述四类中的一类，即此两点的横纵坐标同是奇数或偶数。于是结论成立。 所以，k的最小值是5 。 三. 归纳总结 1 分类讨论思想是指依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同的种类,并对划分的每一类分别进行研究和求解的思想. 2 分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想和归类整理的方法. 3 与分类讨论思想有关的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性， 能训练人思维的条理性和概括性.4.分类处理时要注意： 明确分类讨论的对象及其全体范围; 确定分类标准,进行合理分类,即标准要统一,不重不漏,分类互斥;再对每一类逐级讨论,获取阶段性结果; 归纳小结,得出综合结论.四 课后精练 巩固提高一选择与填空题1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范围是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，则p、q的大小关系是_。A. pq B. pq D.当a1时，pq；当0a1时，pq3.函数y的值域是_。4.若(0, )，则的值为_。A. 1或1 B. 0或1 C. 0或1 D. 0或1或15.函数yx的值域是_。A. 2,+) B. (-,-22,+) C. (-,+) D. -2,26.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_。A. B. C. D. 或