苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置1已知集合，若，则实数的值为 2已知复数满足，若的虚部大于0，则 3交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h以下的汽车有 辆4运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 xyOAB2-2(第5题)S1I1While I5 SS2 II1End WhilePrint S（第4题）频率组距速度(km/h)0.010.020.030.045060708090（第3题）5函数的部分图象如图所示，若AB= 5，则的值为 6若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 7抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 8. 已知矩形的边，若沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥的体积为 9若公比不为1的等比数列满足，等差数列满足，则的值为 10.定义在上的奇函数满足当时，（为常数）.若，则的值为 11.已知，且若点C满足，则的取值范围是 12.已知函数若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 13.已知点，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为 14.已知正数，满足，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15(本小题满分14分)在锐角三角形中，角，的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求.16（本小题满分14分）EPABCD（第16题）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面，点为棱的中点求证：（1）/平面；（2）平面平面17（本小题满分14分）如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线为方便游客观光，拟过曲线上某点分别修建与公路，垂直的两条道路，且，的造价分别为5万元百米、40万元百米建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元 题中所涉及长度单位均为百米（1）求的解析式；xyOBACPMN（第17题）北南东西（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价18（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：（1）若，成等比数列，求实数的值；（2）若，求19（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点D，交轴于点E（1）求椭圆的方程； （2）已知点为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值xyOMEDAP（第19题）20（本小题满分16分）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数（第21-A题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，是直角，圆与射线相切于点，与射线相交于两点，求证：平分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）设x，y均为正数，且xy，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，点是棱上一点，满足.A1C1B1ACBP（第22题）（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的正弦值为，求的值.23. （本小题满分10分）已知数列满足，. （1）求证：； （2）求证：当时，.数学参考答案一、填空题1. 2； 2. ； 375； 49； 5； 6.； 7； 8. ； 926； 10. 4； 11； 12； 134； 14. 二、解答题15（1）在锐角三角形中，由，得， 2分所以.4分由，得. 7分（2）在锐角三角形中，由，得，9分所以，11分由正弦定理，得. 14分OPABCDE16(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE2分因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点因为E为棱PD中点，所以PBOE4分因为PB平面EAC，OE平面EAC，所以直线PB平面EAC6分 (2) 因为PA平面PDC，CD平面PDC，所以 PACD 8分因为四边形ABCD为矩形，所以ADCD10分因为 PAADA，PA，AD平面PAD，所以 CD平面PAD12分因为CD平面ABCD，所以 平面PAD平面ABCD 14分17 (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，所以点P坐标为， 直线OB的方程为， 2分则点P到直线的距离为，4分又PM的造价为5万元百米，PN的造价为40万元百米则两条道路总造价为 8分(2) 因为，所以 ， 10分令，得，列表如下：单调递减极小值单调递增所以当时，函数有最小值，最小值为13分答：（1）两条道路PM ,PN总造价为；（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元 14分（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即时等号成立，照样给分）18.（1）令，得令，得，所以2分由，得，因为，所以4分（2）当时，所以，即，6分所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 8分即，当时，得，10分即，所以， 12分所以是首项为是常数列，所以. 14分代入得. 16分19. （1）因为左顶点为，所以，又，所以.2分又因为，所以椭圆C的标准方程为. 4分（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，. 6分当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8分直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为. 10分（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12分由，得 14分，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为 16分20. (1) 由题意， 2分因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. 4分 (2) 法一：由，得，即对任意恒成立，6分即对任意恒成立，因为，所以， 8分记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是 10分法二：由，得，即在上恒成立，6分因为等价于，当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意 8分当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是10分 (3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. 11分 令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以 ，同理， 所以，化简得，所以，即， 所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 14分若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，