专题28 立体几何的向量方法一、考纲要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用二、概念掌握及解题上的注意点：1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1）)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2）)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3）)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.3.利用向量法求异面直线所成的角的步骤(1）)选好基底或建立空间直角坐标系.(2）)求出两直线的方向向量v1，v2.(3）)代入公式|cosv1，v2|求解.4.求线面角方法：(1）)线面角范围，向量夹角范围为0，.(2）)线面角的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值.即sin .即斜向量，n为平面法向量. 例5.（2018天津卷）如图，ADBC且AD=2BC，ADCD，EGAD且EG=AD，CDFG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2（）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；（）求二面角EBCF的正弦值；（）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长【答案】（）见解析；（）；（）（）解：依题意，可得，设为平面BCE的法向量，则，不妨令z=1，可得设为平面BCF的法向量，则，不妨令z=1，可得因此有cos=，于是sin=二面角EBCF的正弦值为；例6.（2018浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）见解析；（）【解析】：（I）证明：A1A平面ABC，B1B平面ABC，AA1BB1，AA1=4，BB1=2，AB=2，A1B1=2，又AB1=2，AA12=AB12+A1B12，AB1A1B1，同理可得：AB1B1C1，又A1B1B1C1=B1，AB1平面A1B1C1设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，令y=1可得=（，1，0），cos=设直线AC1与平面ABB1所成的角为，则sin=|cos|=直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为例7.（2018上海卷）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图求异面直线PM与OB所成的角的大小【答案】（1）；（2）arccos【解析】：（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积V=设异面直线PM与OB所成的角为，则cos=arccos异面直线PM与OB所成的角的为arccos立体几何向量方法一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则 ()AlBlClDl与相交【答案】B【解析】：n2a，a与平面的法向量平行，l. 18如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由【答案】见解析则n(1,1，2)假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面AEC，则n0.又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点19如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M为CD的中点，求证：AM平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(2)【解析】：(1)证明：四边形ABCD为菱形，BAD120，连接AC，则ACD为等边三角形，又M为CD的中点，AMCD，由CDAB得AMAB.AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B. 设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则有令x1，则n(1，1)直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值sin |cosn，1|.20如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.【答案】见解析【解析】：证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00，PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.21如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值【答案】(1) ；(2) (1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)解：平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即因此二面角BA1DA的正弦值为. 22如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点 (1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解：由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值为. 1