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2019年北师大版精品数学资料1.5 三角函数的应用教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明. (二)能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.在经历弄清实际问题题意的过程中,画出示意图,培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数学、学好数学的欲望.教具重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点 根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图.教学方法 探索发现法教具准备 多媒体演示教学过程 .创设问题情境,引入新课 师直角三角形就像一个万花筒,为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后,接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系,它使我们现实生活中不可能实现的问题,都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用,例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书:船有触礁的危险吗) .讲授新课 师我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的? 生应该是“上北下南,左西右东”. 师请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的.生首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25处.示意图如下. 师货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定? 生根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC,D为垂足,即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD的长度,然后与10海里比较. 师这位同学分析得很好,能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意,有哪些已知条件呢? 生已知BC20海里,BAD55,CAD25. 师在示意图中,有两个直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢? 生在RtACD中,只知道CAD=25,不能求AD. 生在RtABD中,知道BAD=55,虽然知道BC20海里,但它不是RtABD的边,也不能求出AD. 师那该如何是好?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑? 生我发现这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差,即BCBD-CD.BD、CD的对角是已知的,BD、CD和边AD都有联系. 师有何联系呢? 生在RtABD中,tan55,BD=ADtan55;在RtACD中,tan25,CDADtan25. 生利用BCBD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADtan55-ADtan2520. 师太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实,在解决数学问题时,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完. 师生共析解:过A作BC的垂线,交BC于点D.得到RtABD和RtACD,从而BD=ADtan55,CDADtan25,由BD-CDBC,又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20, AD=20.79(海里). 这样AD20.79海里10海里,所以货轮没有触礁的危险. 师接下来,我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的,并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示想一想你会更聪明:如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m) 师我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中,30的仰角、60的仰角分别指哪两个角? 生当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC,60的仰角指DBC. 师很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路,然后回答. (教师留给学生充分的思考时间,感觉有困难的学生可给以指导) 生首先,我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边,在RtADC中,tan30=, 即AC在RtBDC中,tan60=,即BC,又AB=AC-BC50 m,得 -=50. 解得CD43(m), 即塔CD的高度约为43 m. 生我有一个问题,小明在测角时,小明本身有一个高度,因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高. 师这位同学能根据实际大胆地提出质疑,很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? 生示意图如右图所示,由前面的解答过程可知CC43 m,则CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度,塔的高度为44.6 m. 师同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题,想请同学们帮忙解决一下. 多媒体演示:某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾角由40减至35,已知原楼梯长为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 请同学们根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,(先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法) 生在这个问题中,要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长,BC是原楼梯的占地长度;AD是调整后的楼梯的长度,DB是调整后的楼梯的占地长度.ACB是原楼梯的倾角,ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为: 如图,ABDB,ACB40,ADB35,AC4m.求AD-AC及DC的长度. 师这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它,开始吧! 生解:由条件可知,在RtABC中,sin40,即AB4sin40m,原楼梯占地长BC4cos40m. 调整后,在RtADB中,sin35,则ADm.楼梯占地长DB=m. 调整后楼梯加长AD-AC-40.48(m),楼梯比原来多占DCDB-BC= -4cos400.61(m). .随堂练习 1.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面成40夹角,且DB5 m,现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少? 解:在RtCBD中,CDB=40,DB=5 m,sin40= ,BC=DBsin40=5sin40(m). 在RtEDB中,DB=5 m, BE=BC+EC2+5sin40(m). 根据勾股定理,得DE=7.96(m). 所以钢缆ED的长度为7.96 m. 2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD6 m,坡长CD8 m.坡底BC30 m,ADC=135. (1)求ABC的大小: (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3) 解:过A、D分别作AEBC,DFBC,E、F为垂足. (1)在梯形ABCD中.ADC135, FDC45,EFAD=6 m.在RtFDC中,DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m). BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在RtAEB中,AEDF=4 (m). tanABC0.308. ABC17821. (2)梯形ABCD的面积S(AD+BC)AE = (6+30)4 =72 (m2). 坝长为100 m,那么建筑这个大坝共需土石料10072 10182.34(m3). 综上所述,ABC17821,建筑大坝共需10182.34 m3土石料. .课时小结
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