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相交线与平行线奥数培训在竞赛试题中,平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中,单独出题的情况很少,但当平行和垂直的性质与实际情况结合时,往往也会被做为新题型来考查. 【例1】 请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数. 【思考与分析】 本题有多种分类,如以两条直线的位置关系分类,再考虑第三条直线的位置;又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明. 解: (1)如图1,三条直线互相平行,此时交点个数为0; (2)如图2,三条直线相交于同一点,此时交点个数为1; (3)如图3,三条直线两两相交且不交于同一点,此时交点个数为3; (4)如图4,其中两条直线平行,都与第三条直线相交,此时交点个数为2. 综上所述,平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个. (如果按第一种情况进行分类研究,又该如何呢?请大家思考一下.) 反思:求解中(2)、(3)两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时,我们一定要注意分类. 【例2】 (1)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法. (2)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,如果能,请画出一例,如果不能,请简述理由. 【思考与分析】 “6条直线相交且任意3条都不共点”,要解决这个问题,我们可以首先画出两条相交直线,这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于(2)中所求,可以根据(1)得到的结论先对其进行推理,不要盲目的画图. 解:(1)在平面上任取一点A,过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C,在m1上取两点D、G.过B作m2m1,过C作m3m1,过D作n2n1,过G作n3n1,这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点,如图所示.由于彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交. (2)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交. 理由如下:假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其它3条相交,因两直线相交只有一个交点,又因没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点,共有3721个交点,但每个交点分属两条直线,被重复计数一次,所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的. 反思:本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有( )对. A. 4对 B. 8对 C. 12对 D. 16对 【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角,故原图中共有16对,因此选择D. 【小结】解这类问题,关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】 有10条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),无任何三条公路交于同一个岔口,现有31名交警,刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤,请你画出公路示意图. 【思考与解】 我们可以把公路想象成直线,岔口想象成交点,由警察的人数及题意可知,10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识,平面上的10条直线,若两两相交,最多出现45个交点, 现在只要求出现31个交点,就要减去14个交点,这种情况下,通常采取两种办法:(1)多条直线共点;(2)出现平行线.根据题意,方法(1)不能实现,所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行,则减少10个交点,若6条直线平行,则可减少15个交点, 所以这个方向上最多可取5条平行线,这时还有4个点要去掉,换一个方向取3条平行线,即可再减少3个交点,这时还剩下2条直线与1个要减去的点,只须让其在第三个方向上互相平行即可,如图所示: 【小结】 本题考查我们对知识的综合应用能力,在做题时,要牢牢把握平行线的性质,与图形结合,从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】 把正方形ABCD边AD平移得到EF, 作出平移后的正方形能有几种作法? 【思考与分析】 据题意,平移是指正方形整体平移,只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图,作法有如下几个: 作法1: 过E作EF的垂线,截取EGEF,过G点作EF的平行线,截取GHEF(注意截取方向),连接FH就得到平移后的正方形.如图(1). 作法2: 过E、F分别作EF的垂线,截取EGEF,FHEF(注意截取方向),连接GH,就得到平移后的正方形.如图(1). 作法3: 过F作EF的垂线,截取FHEF,过H点作EF的平行线,截取GHEF(注意截取方向),连接EG就得到平移后的正方形.如图(1). 作法: 过E作AC的平行线,过F作BD的平行线,截取EH=AC,FG=BD(注意截取方向).连接EG,GH,HF,就得到平移后的正方形.如图(2). 作法5: 连接EA,FD,过B点作EA的平行线,过C作FD的平行线.截取BG=EA,CH=FD(注意截取方向).如图(3).连接EG,GH,HF,就得到平移后的正方形. 【小结】 平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换,必须指出平移的方向和移动的距离【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏,游戏规则:在所给各种各样的方块中,通过平移、旋转的方式,罗列方块使之排满每一横行,每排满一行,便消去一行,得100分,依次类推(本题特殊规定,只准平移),小方块在屏幕顶端居中出现(奇数列时居中偏左)现在电脑屏幕上显示(如图所示). (1) 若按规定,想得分,甲方块需要怎样平移,才可能直接得分或为以后打下得分基础?乙方块呢? (2) 若你把甲方块放到左侧,发现屏幕已暗示出丙方块为形状,在这种情况下,丙方块只需如何移动,便可得多少分?(注:屏幕上一共有10行10列) 【思考与分析】 第(1)题观察甲方块与底部方块的特点,我们可得出平移方式.第(2)题将丙方块通过平移嵌入空隙之中,即可得分. 解: (1) 甲方块可左移3个单位,下移7个单位放到屏幕左侧;乙方块需向右平移3个单位,下移8个单位,放到屏幕右侧.(可用其他平移方式) (2) 丙方块下移7个单位,便可排满2行,得200分. 【小结】 解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形,需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1,已知直线l1l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在C、D之间有一点P,如果P点在C、D之间运动时,问PAC,APB,PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),试探索PAC,APB,PBD之间的关系又是如何? 【思考与分析】若P点在C、D之间运动时,我们只要过点P作出l1的平行线即可知道APBPAC+PBD;若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),则可以分为如图2和如图3两种情形,同样分别过点P作出l1或l2的平行线,即有APBPBDPAC或APBPACPBD. 解:若P点在C、D之间运动时,则有APBPAC+PBD.理由是:如图1,过点P作PEl1,则APEPAC,又因为l1l2,所以PEl2,所以BPEPBD,所以APE+BPEPAC+PBD,即APBPAC+PBD. 若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),则有两种情形:(1)如图2,有结论:APBPBDPAC.理由是:过点P作PEl1,则APEPAC,又因为l1l2,所以PEl2,所以BPEPBD,所以APBBPE-APE,即APBPBDPAC. (2)如图3,有结论:APBPACPBD.理由是:过点P作PEl2,则BPEPBD,又因为l1l2,所以PEl1,所以APEPAC,所以APBAPE-BPE,即APBPAC-PBD. 【小结】我们做这类题的时候可以发现:点的移动带动角的位置变化,角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意,解决多种情况的讨论.S四边形EDMF=S四边形EFGH-S四边形EDMF=S四边形DMGH=(8+10)436.
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