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集合一 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念,只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大写字母A,B,C表示集合;用小写字母a,b,c表示元素。三 元素与集合的关系有属于,不属于关系两种。元素a属于集合A,记作;元素a不属于集合A,记作。四 几种集合的命名有限集:含有有限个元素的集合;无限集:含有无限个元素的集合;空 集:不包含任何元素的集合叫做空集,用表示;自然数集:N;正整数集:N*或N+;整数集:Z;有理数集:Q;实数集:R。五 集合的表示方法(一) 列举法:把元素一一列举在大括号内的表示方法,例如:a,b,c。注意:凡是以列举法形式出现的集合,往往考察元素的互异性。(二) 描述法:有以下两种描述方式1代号描述:【例】方程的所有解组成的集合,可表示为x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代号,竖线也可以写成冒号或者分号,竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2文字描述:将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】大于2小于5的整数;描述法表示的集合一旦出现,首先需要分析元素的意义,也就说要判断元素到底是什么。(三) 韦恩图法:用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集:如果属于A的所有元素都属于B,那么A就叫做B的子集,记作:,如图1-1所示。 图1-1子集有两种极限情况:(1)当A成为空集时,A仍为B的子集; (2)当A和B相等时,A仍为B的子集。真子集:如果所有属于A的元素都属于B,而且中至少有一个元素不属于A,那么A叫做B的真子集,记作或。真子集也是子集,和子集的区别之处在于。对于同一个集合,其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数,由n各元素组成的集合,有2n个子集,有2n -1个真子集;(2)空集的考查:凡是提到一个集合是另一个集合的子集,作为子集的集合首先可以是空集,的等价形式主要有:。2交集:由两个集合的公共元素组成的集合,叫做这两个集合的交集,记作,读作A交B,如图1-2所示。 图1-2 图1-3 图1-43并集:由两个集合所有元素组成的集合,叫做这两个集合的并集,记作,读作A并B,如图1-3所示。4补集:由所有不属于的元素组成的集合,叫做在全集中的补集,记作,读作A补,如图1-4所示。德摩根公式 :.(四) 区间表示法:数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示,区间分为开区间和闭区间,开区间用小括号表示,是大于或小于的意思;闭区间用中括号表示,是大于等于或小于等于的意思;【例】(2,3),2,3,(2,3,2,3第二章 函数一 映射与函数的基本概念(一) 映 射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应,这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象,B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中,从A中元素到B中元素的对应,可以多对一,不可以一对多。 图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射()求映射(或一一映射)的个数,m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。()判断是映射或不是映射:可以多对一,不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段,函数用f(x)来表示:即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素:定义域A:x取值范围组成的集合。值域B:y取值范围组成的集合。对应法则f:y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 函数与普通映射的区别在于:(1)两个集合必须是数集; (2)不能有剩余的象,即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。 图2-4 二 定义域题型 (一) 具体函数:即有明确解析式的函数,定义域的考查有两种形式直接考查:主要考解不等式。利用:在中;在中,;在中,;在中,;在中, ;在 与中且,列不等式求解。(二)抽象函数:只要对应法则相同,括号里整体的取值范围就完全相同。三 值域题型(一) 常规函数求值域:画图像,定区间,截段。常规函数有:一次函数,二次函数,反比例函数,指数对数函数,三角函数,对号函数。(二) 非常规函数求值域:想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤:(1)换元变形;(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围;(3)画图像,定区间,截段。(三) 分式函数求值域 :四种题型(1) :则且。(2):利用反表示法求值域。先反表示,再利用x的范围解不等式求y的范围。(3): ,则且。(4)求的值域,当时,用判别式法求值域。, 值域(四) 不可变形的杂函数求值域: 利用函数的单调性画出函数趋势图像,定区间,截段。判断单调性的方法:选择填空题首选复合函数法,其次求导数;大题首选求导数,其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五) 原函数反函数对应求值域:原函数的定义域等于反函数值域,原函数值域等于反函数定义域。(六) 已知值域求系数:利用求值域的前五种方法写求值域的过程,将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。四 函数运算法则(一) 指数运算法则 运用指数运算法则,一般从右往左变形。(二) 对数运算法则同底公式: 运用对数运算法则,同底的情况,一般从右往左变形。不同底公式: 运用对数运算法则,不同底的情况,先变成同底。五 函数解析式(一) 换元法:如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5,求f(3-7x),(设2x + 3=3-7t)。(二) 构造法:如,求f(x)。(三) 待定系数法:通过图像求出y=Asin(x +) + C中系数(四) 递推:需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五) 求原函数的反函数:先反表示,再x、y互换。六 常规函数的图像常规函数图像主要有: 指数函数:逆时针旋转, 对数函数:逆时针旋转,底数越来越大 底数越来越小幂函数:逆时针旋转,指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七 函数的单调性(一) 定义:在给定区间范围内,如果x越大y越大,那么原函数为增函数;如果x越大y越小,那么原函数为减函数。(二) 单调性题型:1.求单调性区间:先找到最基本函数单元的单调区间,用复合函数法判断函数在这个区间的单调性,从而确定单调区间。复合函数法: :当0 x 1时,x,x2,- x2,2.判断单调性 (1).求导函数:为增函数,为减函数(2).利用定义:设x1xx2,比较f(x1)与f(x2)大小,把因式分解,看正负。(3).原反函数:具有相同的单调性,一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3.利用函数单调性:(1).求值域:利用单调性画出图像趋势,定区间,截断。(2).比较函数值的大小:画图看(3).解不等式:利用以下基本结论列不等式,解不等式。增函数或减函数或(4).求系数:利用常规函数单调性结论,根据单调性求系数。八 函数的奇偶性(一)定义:如果,则为偶函数;如果,则 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是:定义域关于原点对称。(二)奇偶性题型: 1.判断奇偶性 : (1).先看定义域是否关于原点对称,再比较f(x)与f(-x)正负(2).看图像对称性:关于y轴对称为偶,关于原点对称为奇(3).原、反函数:奇函数的反函数是奇函数,偶函数没有反函数。2.利用奇偶性:(1).利用公式:f(-x)=- f(x),f(-x)= f(x),计算或求解析式(2).利用复合函数奇偶性结论:F(x)=f(x)g(x),奇奇得偶,偶偶得偶,奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x),当f(x)为奇,g(x)为偶时,代入-x得:F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3.奇偶函数图像的对称性偶函数:关于y轴对称若,则f(x)关于对称奇函数:关于原点对称若,则f(x)关于点(,m) 对称九 函数的周期性(一) 定义:若,则为周期函数,为周期(二) 周期性考点: 1.求周期: (1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(x +) + C标准形式,直接读出周期 2.利用周期性:利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式(2).求函数值十 函数图像的对称性(一) 一个图关于点对称:()奇函数关于原点对称()若f(a+x) + f(b-x)=2m,则f(x)关于(,m)对称(二) 一个图关于直线对称:()偶函数关于轴对称() ,则关于对称(三) 两个图关于点对称 ()关于原点对称的函数:x-x,y-y,即-y=f(-x)()关于对称的函数:即(四) 两个图关于线对称 ()原函数与反函数:关于y=x对称 ()y= f(x)关于y=x + c对称的函数:xy-c,yx+c,即x+c= f(y-c) ()y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x-y+c,y-x+c,即-x+c= f(-y+c) ()f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于对称 ()f(x)与-f(x)关于x轴对称十一 原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点:求反函数,利用原函数与反函数关系解题。(一) 求反函数:先反表示,再互换;或先互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。(二) 利用原函数反函数的关系解题:已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时,往往不用求反函数可依据以下结论解题。1定
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