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计数方法选讲一. 直接法、1. 特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择 A5 ,其余2位有四个可供选择 Af,由乘法原理:A52 A2 =2402. 特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有 A3=60,1不在千位时,千位有 A1种选法,个位有 A:种,余下的有 A,共有a4 a4 A2 =192所以总共有192+60=252二. 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法a4 - 2A53 + a2=252例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与78与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数C; X23 XA/个,其中0在百位的有 C: X22 X A个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C53 X23 XAs- C: X22 XA;=432 (个)三. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目先后顺序,有多少中插入方法?分析:原有的8个节目中含有 9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有A1 XAj0 =90中插入方法。四捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。例44名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A44种排法,而男生之间又有A4种排法,又乘法原理满足条件的排法有:A X A: =576练习1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有种(c42a3)2.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(C29 ?A29)(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C;9其余的就是19所学校选28天进行排列)五隔板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采用隔板法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至 少一人,名额分配方案共种。分析:此例的实质是 12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入7块隔板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有g7种练习1有20个不加区别的小球放入编号为1, 2,3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少于编号数,问有多少种不同的方法? (G;)2.不定方程兀+%+夫+X50=100中不同的正整数解有(c9:9)六. 平均分堆问题例66本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?分析:分出三堆书(a 凋2),(a 3,a :),心詔6)由顺序不同可以有A;=6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有c2c2c;=15种练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法?2.某年级6个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分 派方法的种数。七. 染色问题练习:1.某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分,现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同 一样颜色的花,不同的栽种方法有 种.(120)312.如图,四个区域坐定 4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)八. 递推法例7一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同的走法?分析:设上n级楼梯的走法为an种,易知ai=1,a2=2,当n2时,上n级楼梯的走法可 分两类:第一类:是最后一步跨一级,有an-1种走法,第二类是最后一步跨两级,有an-2种走法,由加法原理知:a n=an-l+ an-2 ,据此,a3=a+a2=3,a 4=a#+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=13,a 7 =21,a 8=34, a9=55,a io=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。九几何问题1. 四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取 3个点,使它们和点 A在同一平面上,不同的取法有 _种(3 C;+3=33)2. 四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多3333少个平面?( Go-4 C6+4-3 C4+3-6C4+6+2X 6=29)(2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥?三棱锥Co4-4C64-6C:-3C44=141四棱锥 6X 4X 4=96 3X 6=18 共有 114十.先选后排法例8有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选派方法有()A.1260 种B.2025 种 C.2520 种 D.5054 种分析:先从10人中选出2人十一用转换法解排列组合问题例9某城市街道呈棋盘形,南北向大街5条,东西向大街 4条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.解无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.C3=35 (种)例10一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法.解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.C1 =924 (种).十二.转化命题法例11圆周上共有15个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各?分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内 接四边形,则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有 C145=1365 (个)十三概率法例12 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学 必须排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法?分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相111等,均为1 ,故本例所求的排法种数就是所有排法的-,即-A=360种22 2十四.除序法例13用1, 2, 3, 4, 5, 6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,(1) 若偶数2, 4,6次序一定,有多少个?(2) 若偶数2, 4,6次序一定,奇数1, 3, 5,7的次序也一定的有多少个?解( 1)a7Aa7_AJAI卜五错位排列例14同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片, 则不同的分配方法有种(9)公式1) an = (n- 1)(an-1 +an-2)n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.2) an= n! (1- 1 +丄-丄+ (- 1)n -)1! 2! 3!n!练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一 顶帽子回家,回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种? ( 44)
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