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WORD文档第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零即a, a 0,|a | 0, a 0,a, a 0.(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离(3)两个数的差的绝对值的几何意义: a b 表示在数轴上,数 a和数 b 之间的距离2、绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式 f (x) a(a 0), 去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。 f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。2 2f (x) g(x) f (x) g (x)。(2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论,去掉绝对值而解不等式一般地 n 个零点把数轴分为 n1 段进行讨论将分段求得解集,再求它们的并集例 1. 求不等式 3x 5 4的解集例 2. 求不等式 2x 1 5的解集例 3. 求不等式 x 3 x 2 的解集例 4. 求不等式 | x2| | x1| 3 的解集1专业资料例 5. 解不等式 | x1| |2 x| 3x例 6. 已知关于 x 的不等式 | x5| | x3| a 有解,求 a 的取值范围练习解下列含有绝对值的不等式:(1) x 1 x 3 4+x(2)| x+1| x2|(3)| x1|+|2 x+1|4(4) 3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式(1)平方差公式2 2(a b)( a b) a b(2)完全平方公式2 2 2(a b) a 2ab b(3)立方和公式2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b(4)立方差公式2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b(5)三数和平方公式2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)(6)两数和立方公式3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2(7)两数差立方公式3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式:2(1)x 3x2; (2)26x 7x 2(3)2 ( ) 2x a b xy aby ; (4) xy 1 x y 2提取公因式法例 2. 分解因式:2 (2) x3 9 3x2 3x (1) a b 5 a 5 b3公式法例 3. 分解因式: (1) a4 16 (2)23x 2y x y24分组分解法2例 4. (1) x xy 3y 3x(2)2 22x xy y 4x 5y 65关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c( a0) 的因式分解若关于 x 的方程2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例 5. 把下列关于 x 的二次多项式分解因式:(1)2 2 1x x ; (2)2 4 4 2x xy y 3练习(1)2 5 6x x (2)2 1x a x a (3)2 11 18x x(4)24m 12m 9 (5)25 7x 6x (6)2 212x xy 6y2 q p( 7 ) 6 2p q 11 2 3 ( 8 )3 5a2 b 6ab2a ( 9 )2 4 24 x x2(10) x4 2x2 1 (11) x2 y2 a2 b2 2ax 2by(12) a2 4ab 4b2 6a 12b 9 (13) x22x1(14)3 1a ; (15)4 24x 13x 9 ;(16)2 2 2 2 2b c ab ac bc ; (17)2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax bxc0(a0),有:(1) 当0 时,方程有两个不相等的实数根 x1 ,2,22 4b b ac2a;(2)当 0 时,方程有两个相等的实数根 x1x2b2a;(3)当 0 时,方程没有实数根(2) 根与系数的关系(韦达定理)2如果 ax bxc0(a0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1x2ba,x1 x2ca这一关系也被称为韦达定理2、二次函数2y ax bx c的性质1. 当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb2a,顶点坐标为2b 4ac b, 。2a 4a当 xb2a时,y 随 x 的增大而减小; 当xb2a时,y 随 x 的增大而增大; 当xb2a时,y 有最小值24ac b4a。42. 当 a 0 时,抛物线开口向下,对称轴为xb2a,顶点坐标为2b 4ac b, 。当2a 4axb2a时, y 随x 的增大而增大;当xb2a时, y 随 x 的增大而减小;当xb2a时, y有最大值24ac b4a .3、二次函数与一元二次方程:二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x轴交点情况) :一元二次方程2 0ax bx c 是二次函数2y ax bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数: 当2 4 0b ac 时,图象与 x 轴交于两点 A x1 ,0 ,B x2 ,0 (x1 x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一元二次方程2 0 0ax bx c a 的两根。这两点间的距离AB x x2 12b 4aca. 当 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; 当 0 时,图象与 x 轴没有交点 .1 当 a 0 时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有 y 0 ;2 当 a 0 时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有 y 0 。2例 1. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x 5x30 的两根(1)求 | x 1x2| 的值; (2)求1 12 2x x1 23 x 3的值;(3)x1 22 2y mx x m m x例 2. 函数 ( 是常数)的图像与 轴的交点个数为( ) 0 个 1 个 2 个 1 个或 2 个 2 5 2 5 x y mx mx m x例 3. 关于 的方程 有两个相等的实数根,则相应二次函数 与 轴mx mx mm 必然相交于 点,此时 2 (2 1) 6y x m x m x例 4 . 抛物线 与 轴交于两点 (x,0) 和 (x2,0),若 x1x2 x1 x2 49,要使抛物线1经过原点,应将它向右平移个单位x y 2mx2 (8m 1)x 8m x m例 5. 关于 的二次函数 的图像与 轴有交点,则 的范围是( )1 1 1 1m m m 0 m m m 0 且 且16 16 16 165练习3. 一元二次方程 ax 1 和 x2求:2bxc0(a0)的两根为 xx x(1)| x 1x2| 和 1 223 3;(2)x1 x22y (k 2)x 7x (k 5) x4. 如图所示,函数 的图像与 轴只有一个交点,则交点的横坐标 x 025. 已知抛物线 y ax bx c与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A( x,0),B(x,0)( x x ) 两点, 顶点 M 的1 2 1 22 2( 1) 2 7 02 24 x1 x2 x m x m x1 x2 10 纵坐标为 ,若 , 是方程 的两根,且 (1)求 A, B两点坐标;C(2)求抛物线表达式及点 坐标;y ax2 c xx x x6. 若二次函数 ,当 取 x 、 x ( )时,函数值相等,则当 取 x x 时,函数值为1 2 1 2 1 2( )a c a c c c 1 12 2y x bx c x5、已知二次函数 ,关于 的一元二次方程 x bx c 0 的两个实根是 1和 5 ,2 2则这个二次函数的解析式为第三讲 一元二次不等式的解法1、定义:形如 ax2+bx+c0(a0)(或 ax2+bx+c0(a0) 的不等式做关于 x 的一元二次不等式。2 、一元二次不等式的一般形式:ax2+bx+c0(a0)或 ax2+bx+c0(a0)3 、 一元二次不等式的解集: 2 -4 ac 0 =0 0=byy y2+bx+c 0 y=ax(a0)的图象x1Ox2xOxx1 (x2) Ox6ax 2+bx+c=02+bx+c=0x1=2 4b b ac2a(a0)的根x2=2 4b b ac2ax1= x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx+c02+bx+c0(a0)的解集x x1 或 xx2(x1x2)x -b2a全体实数ax 2+bx+c02+bx+c0x1xx2无解 无解(a0)的解集 (x1x2)4、解一元二次不等式的一般步骤:(1)将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c0(a0)(或 ax2+bx+c0(a0);(2)计算=b2-4 ac;(3)如果 0,求方程 ax2+bx+c=0( a0)的根;若 0,方程 ax2+bx+c=0(a0)没有实数根;(4)根据上表,确定已经化成一般形式的不等式的解集,即为原不等式的解集。例 1. 解下列不等式:(1)4x2-4 x15; (2)- x2-2 x+30;
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