命题及其关系、充分条件与必要条件专项训练【自主梳理】1 .命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及其关系（1）四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是原命题：若p则q（p? q）;逆命题：若 q贝U p（q? p）;否命题：若綈p则綈q（綈p?綈q）;逆否命题：若綈q则綈p（綈q?綈p）.（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系.3. 充分条件与必要条件若p? q,贝U p叫做q的充分条件；若 q? p，则p叫做q的必要条件；如果 p? q，则p 叫做q的充要条件.自我检测31 . （2010湖南）下列命题中的假命题是（）A . ?x R, lg x= 0B . ?x R, tan x= 13xC . ? x R , x 0D . ? x R, 2 0答案 C解析 对于C选项，当x= 0时，03= 0，因此？, x30是假命题.2. （2010 陕西）a0”是 a|0 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 a0? |a|0, |a|0= a0,. a0”是|a|0”的充分不必要条件.3. （2009 浙江）x0”是 “xm 0”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 A解析 对于x0”？ “xm 0”，反之不一定成立，因此x0”是“xm 0”的充分而不必要 条件.4 .若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s,贝U s是p的逆命题t的()A .逆否命题B .逆命题C .否命题D .原命题答案 C解析 由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题.5. (2011宜昌模拟)与命题“若a M，贝U bF M”等价的命题是()A . 若 a -一 M，贝U bMB . 若 b -一 M，贝U a MC.若 a，M，贝U b MD . 若 b M，贝U a M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可.探究点一四种命题及其相互关系【例1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1) 实数的平方是非负数；(2) 等底等高的两个三角形是全等三角形；(3) 弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.真命题.(2) 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.真命题.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.真命题.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3) 逆命题：若一条直线经过圆心， 且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分 线.真命题.变式迁移1有下列四个命题： “若x + y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若q 0,所以x2 + 2x+ q= 0有实根，其 逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假.探究点二充要条件的判断【例2】给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件.p： x 2 = 0; q： (x 2)(x 3) = 0.(2) p :两个三角形相似；q：两个三角形全等.(3) p： m 2； q：方程 x2 x m= 0 无实根.(4) p： 个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等.解 (1) -x 2 = 0? (x 2)(x 3) = 0；而(x 2)(x 3) = 0x 2 = 0.p是q的充分不必要条件.(2) -两个三角形相似鼻?两个三角形全等；但两个三角形全等？两个三角形相似.p是q的必要不充分条件.(3) -.m 2?方程 x2 x m= 0 无实根； 方程x2 x m= 0无实根m 2.p是q的充分不必要条件.(4) -矩形的对角线相等， p? q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，qwp.p是q的充分不必要条件.变式迁移2 (2011邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是() p: m6 ； q: y = x2+ mx+ m+ 3有两个不同的零点； p: f一= 1 ； q： y= f(x)是偶函数；f(x) p: cos a= cos 3； q: tan a= tan 3； p: A A B = A； q： ?uB? uA.A . B . C . D .答案 D解析 q： y= x + mx + m+ 3 有两个不同的零点 ？ q： A= m 4(m+ 3)0? q: m6? p；当 f(x)= 0 时，由 q护p;若 a， 3= k n+ 寸，k 时，显然 cos a= cos 3,但 tan a tan 3; p： A A B = A? p： A? B? q: ?uA? uB.故符合题意.探究点三充要条件的证明【例3】 设a，b，c ABC的三边，求证：方程 x2 + 2ax+ b2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公 共根的充要条件是/ A= 90解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件” ？“结论”是证明命题的充分性，由“结论” ？ “条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性.证明必要性：设方程x2 + 2ax+ b2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公共根xo,则 x2+ 2axo+ b2= 0, xo + 2cxo b2= 0,、b2、 、22两式相减可得x0=，将此式代入x0+ 2ax+ b = 0,c a可得 b2 + c2= a2,故/A= 90充分性：./A= 90 2 i 22.222 金 b + c = a , b = a c .将代入方程 x2+ 2ax+ b2= 0,可得 x2 + 2ax+ a2 c2 = 0,即(x+ a c)(x+ a + c) = 0.将代入方程 x2+ 2cx b2= 0,可得 x + 2cx+ c a = 0,即(x + c a)(x+ c+ a)= 0.故两方程有公共根 x= (a + c).0.所以方程x2 + 2ax+ b2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公共根的充要条件是/ A = 90 变式迁移3 已知abz 0,求证：a+ b= 1的充要条件是 a3+ b3 + ab a2 b2= 证明(1)必要性：I a + b= 1,.a + b 1 = 0. 3 . 3.2.2-a + b + ab a b2 22 2=(a+ b)(a ab+ b ) (a ab+ b )2 2=(a+ b 1)(a ab+ b )= 0.(2)充分性：3,3,2,2小a + b + ab a b = 0,22即(a+ b 1)(a ab + b ) = 0.又 abz 0,aM 0 且 b丰 0.22 b 2 3 2a ab+ b = (a ?) +0.a + b 1 = 0，即 a + b = 1.综上可知，当 abz 0时，a + b= 1的充要条件是a3+ b3 + ab a2 b2= 0.转化与化归思想的应用【例】（12分）已知两个关于x的一元二次方程 mx2 4x + 4= 0 和 x2 4mx + 4m2 0，且m乙求两方程的根都是整数的充要条件.【答题模板】解 .mx? 4x+ 4 = 0是一元二次方程，mz 0.22_.、另一方程为x 4mx+ 4m 4m 5= 0,两方程都要有实根， = 16 1 m 0,I = 16m2 4 4m2 4m 5 0,5解得 mq 4, 1.4m 5 =2分6分两根为整数，故和与积也为整数,二4m題.4m2 4m 5,.m为4的约数,8分m = 1 或 1,当 m= 1 时，第一个方程x2 + 4x 4= 0的根为非整数，而当m= 1时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是m= 1.12分【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决， 两方程有实根易想 A 0求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与 两根之积都是整数.【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着mz 0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数.運课堂小结1. 研究命题及其关系时， 要分清命题的题设和结论， 把命题写成“如果，那么 的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性.2 在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断,同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言.还要分清否命题与命题的否定的区别.3 本节体现了转化与化归的数学思想.（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2010天津模拟）给出以下四个命题：若 abw 0,贝U aw 0 或 bb,贝U am2bm2;在 ABC 中，若 sin A= sin B, 则A= B;在一元二次方程 ax2 + bx + c= 0中，若b2 4ac0,则方程有实数根.其中原命 题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（）A .B .C.D .答案 C解析 对命题，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题，其原命题和逆否