1.1.2余弦定理教学设计 人教版数学必修51.1.2余弦定理的教学设计 一、教学目标解析 1、使学生把握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。 3、在发觉和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比拟证明余弦定理的不同方法，从而培育学生的发散思维。 4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培育学生学习数学的兴趣，使学生进一步熟悉到数学是有用的。 二、教学问题诊断分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： 已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角； 已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们把握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发觉和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比拟单一，对余弦定理的证明方法思索也比拟单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进展证明，从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以到达更有效地解题，也是本节内容应当关注的问题，特殊是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应留意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。 三、教学支持条件分析 为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中简单的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，商定当计算器所得的三角函数值是精确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采纳约等号。但一般的代数运算结果 按通常的运算规章，是近似值时用约等号。 四、教学过程设计 1、教学根本流程： 从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。 余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探究获得定理的证明。 应用余弦定理解斜三角形。 2、教学情景： 创设情境，提出问题 问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设 计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最 大距离（如图1所示，图中AB的长度）。 【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学 生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体 会到数学来源于生活，数学效劳于生活。 师生活动：教师可以实行小组合作的形式，让学生设计方案尝 试解决。 学生1方案1：假如卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取 C一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用 测角仪测出ACB的大小，那么ABC的大小就 可以确定了。感觉好像在ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。 其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？ 学生2方案2：在岛对岸可以取C、D 两点 （如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出 图中 1、 2、 3、4的大小。在ACD中，已知ACD、ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在 BCD中，用正弦定理求出BC。那么在ABC中，已知AC、BC及ACB，好像可以求AB的长了。 教师：两种方案归根究竟都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，查找它们之间的某种定量关系？ 【设计意图】给学生足够的空间和展现的平台，充分发挥学生的主体地位。求异探新，证明定理 问题2：在ABC中，C = 90，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。 【设计意图】：引导学生从最简洁入手，从而通过添加帮助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特别入手，用已有的初中所学的平面几何的有关学问来讨论这一问题，从而查找出这些量之间存在的某种定量关系。 学生3：在ABC中，如图4，过C作CDAB，垂足为D。 在RtACD中，AD=bsin1,CD= bcos1; 在RtBCD中，BD=asin2, CD=acos2; c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD = a+b-2abcos1cos2+2absin1sin 2=a+b-2abcos(1+2) =a+b-2abcosC2222222222 AD图 4学生4：如图5，过A作ADBC，垂足为D。 则：c=AD+BD 22222=b-CD+(a-CD) =a+b-2aCD =a+b-2abcosC22222A图 5学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC 类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。 教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特别，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点余弦定理。 【设计意图】：首先确定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。 师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思索是否还有2 22 2 22 22 2 2其他方法证明余弦定理。 教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比拟简便地证明白正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？ 【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步熬炼和提高，体验到胜利的乐趣。 学生6：如图6，uurruurruurr记AB=c,CB=a,CA=bruuruuruurrr则c=AB=CB-CA=a-brrr22（c）=（a-b） r2r2rr=a+b-2ab r2r2r2rr即c=a+b-2abcosC c=a+b-2abcosC222A 图6 教师：以上的证明避开了争论C是锐角、钝角或直角，思路简洁明白，过程简洁，表达了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？ 【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。学生7：如图7，建立直角坐标系，在ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 c=AB22=(acosC-b)+(asinC) 2222 =a+b-2abcosC 【设计意图】：通过以上平面几何学问、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培育学生发散思维力量，拓展学生思维空间的深度和广度。 运用定理，解决问题 让学生观看余弦定理及推论的构成形式，思索用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。 例1：在ABC中，已知a = 2，b = 3，C = 60，求边c。 在ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最根本问题，既已知三角形两边及夹角，求第三边；已知三角形三边，求三内角。 小结 本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进展探究，得出的余弦定理无论在什么外形的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完善”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。 【设计意图】：在学生探究数学美，观赏美的过程中，体会数学造化之奇妙，学生可以兴趣盎然地把握公式特征、构造及其他变式。 作业 第1题：用正弦定理证明余弦定理。 【设计意图】：连续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进展推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种特别重要的思想方法。 第2题：在ABC 中，已知a=b=B=45o，求角A和C和边c。 【设计意图】：此题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。 其次篇：1.2 余弦定理教学设计 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 1.2 余弦定理 南京师范大学附属中学张跃红 教学目标： 1.把握余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题； 2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学重点： 重点是余弦定理及其证明过程 教学难点： 难点是余弦定理的推导和证明 教学过程： 1.创设情景，提出问题 问题1：修建一条高速大路，要开凿隧道将一 段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（如图 1）请想方法解决这个问题 设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容 2.构建模型，解决问题 学生活动：提出的方法有，先航拍，然后依据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出ACBABC是确定的，就可以计算出AB的长接下来，请三位板演其解法 法1：（构造直角三角形） 如图2，过点A作垂线交BC于点D，则 ADACsinC，CDACcosC，BDBCCDBCACcosC，所以，|AB|=|AD|2+|BD|2=|AC|2+|BC|2-2|AC|BC|cosC C 法2：（向量方法） uuuruuuruuur如图3，由于AB=AC+CB，uuur2uuuruuur2 所以，AB=(AC+CB) uuur2uuur2uuuruuur=AC+CB+2ACCBcos(p-C),即 |AB|=AC|2+|BC|2-2|AC|BC|cosC 法3：（建立直角坐标系）C建立如图4所示的直角坐标系，则A（ACcosC, ACsinC），B（BC, 0），依据两点间的距离公式，可得