2.5从力做的功到向量的数量积（二）西安市第八十三中学 胡小权一教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 二教材分析本节课是启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. 问题。三教学重难点： 重点： 平面向量数量积及运算规律.难点：平面向量数量积的应用四教学方法与手段：启发式教学：通过对数量积概念的理解，引导学生归纳，总结数量积的运算律。充分体现教师的主导作用与学生的主题作用。五教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3“投影”的概念：作图C 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cosq； 2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a b = b a证：设a，b夹角为q，则a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)证：若 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，()（）（结合律不成立）（2），0（消去律不成立）（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，=|2=而= ，|2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2)，即，也即ABBC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.思考：如何利用向量的方法来证明余弦定理？小结：平面向量的运算律六作业设计与反思作业设计：P97A组7题，. B组1题教学设计反思平面向量数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开;练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。