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最新精品资料2.2等差数列1等差数列的判定(1)anan1d (n2,d为常数)an是公差为d的等差数列;(2)2anan1an1 (n2)an是等差数列;(3)anknb(k,b为常数)an是公差为k的等差数列(n1);(4)SnAn2Bn(A,B为常数)an是公差为2A的等差数列(n1)例如:已知等差数列an的前n项和Sn(n1)2,则的值是_解析Sn(n1)2n22n(1),an是等差数列,10,1.答案12等差数列的通项公式将ana1(n1)d可整理为andn(a1d),它是关于n的一次函数(d0)或常函数(d0),它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点,公差d是该射线所在直线的斜率例如:等差数列an中,若anm,amn (mn),则amn_.解析由点(n,an),(m,am),(mn,amn)三点共线,.即1,易得amn0.答案03等差数列的前n项和公式(1)将公式Snna1d变形可得Snn2n.故当d0时,等差数列前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的一群孤立点(2)n是关于n的一次函数(d0)或常函数(d0)当涉及等差数列前n项和Sn的计算问题时,有时设SnAn2Bn的形式更简便快捷例如:等差数列an中,若Spq,Sqp (pq),则Spq_.解析设SnAn2Bn,则由(1)(2)得Ap2BpAq2Bqqp,A(p2q2)B(pq)qp,pq,A(pq)B1.SpqA(pq)2B(pq)A(pq)B(pq)(pq)答案(pq)4等差数列的性质(1)若数列an和bn均是等差数列,则mankbn仍为等差数列,其中m、k均为常数(2)若m,n,p,qN*,且mnpq,则amanapaq.(3)等差数列中依次k项的和成等差数列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差数列,公差为k2d (d是原数列公差)(4)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则.(5)等差数列an中,奇数项的和记作S奇,偶数项的和记作S偶,则SnS奇S偶当n为偶数时:S偶S奇d;当n为奇数时:S奇S偶a中,S奇a中,S偶a中,.(其中a中是等差数列的中间一项)例如:已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是_解析S偶S奇d5d,5d301515,d3.答案35等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法:(1)通项法当a10,d0时,数列an只有前面有限项为非负数,从某项开始所有项均为负数,因此,Sn有最大值,当n满足不等式组时,Sn取到这个最大值;当a10时,数列an只有前面有限项为非正数,从某项开始所有项均为正数,因此,Sn有最小值,当n满足不等式组时,Sn取到这一最小值(2)二次函数法由于Snn2n,nN*是关于n的二次函数式,故可转化为求二次函数的最值问题,但要注意数列的特殊性nN*.例如:an是等差数列,a10,a2 009a2 0100,a2 009a2 0100成立时,n的最大值是_答案2 0094 018一、等差数列的判断方法方法链接:判定等差数列的常用方法:(1)定义法:an1and (常数)(nN*);(2)通项公式法:anknb (k,b为常数) (nN*);(3)中项公式法:2an1anan2 (nN*);(4)前n项和法:SnAn2Bn (A、B为常数),nN*.例1数列an的前n项和Sn满足:Sn,判断an是否为等差数列?并证明你的结论解an是等差数列,证明如下:因为anSnSn1 (n2),所以an1,所以an1an(n1)(a1an1)2n(a1an)(n1)(a1an1)(n1)an12nan(n1)an1 (n2),即(n1)(an12anan1)0,所以an1an12an (n2),所以数列an为等差数列二、等差数列中基本量的运算方法链接:在等差数列中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其他两个量,其中a1和d是两个基本量,利用通项公式与前n项和公式,求出a1和d,等差数列就确定了例2在等差数列an中,(1)已知a610,S55,求a8和S8;(2)已知前3项和为12,前3项积为48,且d0,求a1;(3)已知前3项依次为a,4,3a,前k项和Sk2 550,求a及k.解(1)a610,S55,.解方程组得a15,d3,a8a62d102316,S8844.(2)设数列的前三项分别为ad,a,ad,依题意有:,.d0,d2,ad2.a12.(3)设公差为d,则由题意得因此,a2,k50.三、等差数列的性质及运用方法链接:等差数列有一些重要的性质,例如:(1)若mnpq,则amanapaq;(2)若mn2p,则aman2ap;(3)若an是等差数列,则Sk,S2kSk,S3kS2k也成等差数列(其Sk为前k项和)(4)若等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,则.熟练运用这些性质,可以提高解题速度,获得事半功倍的功效例3(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S972,求a2a4a9的值;(2)已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,求证:;.(1)解由S972,a1a916,a1a92a516,a58,a2a4a9a1a5a93a524.(2)证明.四、等差数列前n项和的最值方法链接:等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外,还可用下面的方法讨论:若d0,a10,d0,Sn有最大值,需n取正整数例4(1)首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3S11,问n为何值时,Sn最大?(2)等差数列an中,a160,a1712,求|an|的前30项和及前n项和解(1)设首项为a1,公差为d,则由题意知,d0,因此an3n63.点Q(n,an)在增函数y3x63的图象上令y0则得x21,故当n22时,an0;当1n21且nN*时,an0,于是|a1|a2|a30|a1a2a21a22a23a30a1a2a302(a1a2a21)765.记Tn|a1|a2|an|,则由上面的求解过程知:当1n21,nN*时,Tn|a1|a2|an|a1a2ann2n.当n21,nN*时,Tn|a1|a2|a20|a21|an|(a1a2a21)a22a23an(a1a2an)2(a1a2a21)n2n1 260.数列|an|的前n项和Tn五、关于等差数列的探索性问题方法链接:对于与等差数列有关的探索性问题,先由前三项成等差数列确定参数后,再利用定义验证或证明所得结论例5已知数列an中,a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解(1)a15,a22a122113,a32a223133.(2)假设存在实数,使得数列为等差数列则,成等差数列,2,.解得1.当1时,(an11)2(an1)(an12an1)(2an2n11)2an12n11.综上可知,存在实数1,使得数列为等差数列,且首项是2,公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接:关于等差数列的创新型试题,常以图表、数阵、新定义等形式出现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼,挖掘出题目蕴含的有用信息,利用所学等差数列的有关知识加以解决例6下表给出一个“等差数阵”:47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值;(2)写出aij的计算公式解(1)通过观察“等差数阵”发现:第一行的首项为4,公差为3;第二行首项为7,公差为5.归纳总结出:第一列(每行的首项)是以4为首项,3为公差的等差数列,即3i1,各行的公差是以3为首项,2为公差的等差数列,即2i1.所以a45在第4行,首项应为13,公差为9,进而得出a4549.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4,公差为3的等差数列:a1j43(j1);第二行是首项为7,公差为5的等差数列:a2j75(j1);第i行是首项为43(i1),公差为2i1的等差数列,因此,aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.1审题不细心,忽略细节而致错例1首项为24的等差数列,从第10项起开始为正数,求公差d的取值范围错解a10a19d249d0,d.点拨忽略了“开始”一词的含义,题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项,应有a90. 正解设an24(n1)d,由,解不等式得:d3.2忽略公式的基本特征而致错例2已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和T
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