课时素养评价 二十一函数的最大值、最小值 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为()A.42,12B.42,-C.12,-D.无最大值,最小值为-【解析】选D.f(x)=x2+3x+2=-,因为-5-5,所以无最大值,f(x)min=f=-.2.已知f(x)=-,则()A.f(x)max=,f(x)无最小值B.f(x)min=1,f(x)无最大值C.f(x)max=1,f(x)min=-1D.f(x)max=1,f(x)min=0【解析】选C.f(x)=- 的定义域为0,1,因为f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1.3.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的四种说法正确的是()A.有最小值,最小值为1B.没有最小值C.有最大值,最大值为10D.没有最大值【解析】选A、D.f(x)=x+|x-1|=作出函数的图象如图所示,由图象可知,f(x)的最小值为1,没有最大值.4.设c0,f(x)在区间a,b上单调递减,下列说法中正确的是()A.f(x)在区间a,b上有最小值f(a)B.在a,b上有最小值f(a)C.f(x)-c在a,b上有最小值f(a)-cD.cf(x)在a,b上有最小值cf(a)【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)在区间a,b上单调递减,则其在区间a,b上有最小值f(b),A错误;对于B,f(x)在区间a,b上单调递减,而函数在a,b上单调性无法确定,其最小值无法确定,B错误;对于C,f(x)在区间a,b上单调递减,f(x)-c在区间a,b上也单调递减,其最小值为f(b)-c,C错误;对于D,f(x)在区间a,b上单调递减,且c0时,即所以f(x)=x+;当k0时,即所以f(x)=-x+,所以f(x)的解析式为f(x)=x+或f(x)=-x+.答案:f(x)=x+或f(x)=-x+6.函数y=f(x)的定义域为-4,6,且在区间-4,-2上单调递减,在区间-2,6上单调递增,且f(-4)f(6),则函数f(x)的最小值是_,最大值是_.【解析】因为函数y=f(x)在区间-4,-2上单调递减,在区间-2,6上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),又因为f(-4)f(6),所以f(x)的最大值是f(6).答案:f(-2)f(6)三、解答题(共26分)7.(12分)求函数y=f(x)=在区间1,2上的最大值和最小值.【解题指南】先证明函数y=在区间1,2上的单调性,然后求最大值和最小值.【解析】x1,x21,2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为1x1x22,所以2x1+x24,即63(x1+x2)12,又1x1x20,故f(x1)-f(x2)0. 所以函数y=在区间1,2上单调递减,ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4.8.(14分)已知函数f(x)=,x2,9.(1)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.(2)求f(x)的最大值,最小值.【解析】(1)f(x)在2,9上单调递减.证明:x1,x22,9,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)在2,9上单调递减.(2)由f(x)在2,9上单调递减,所以当x=2时,f(x)取最大值f(2)=2;当x=9时,f(x)取最小值f(9)=. (15分钟30分)1.(4分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元【解析】选C.设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15-x)台,公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+,所以当x=9或10时,L最大为120万元.2.(4分)已知y=ax+1,在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2B.-2C.2或-2D.0【解析】选C.当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;当a0时,y=ax+1在1,2上单调递增,则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a0时,y=ax+1在1,2上单调递减,则(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上,得a=2.3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为_.【解析】因为y=在区间上单调递减,y=-3x在区间上单调递减,所以函数f(x)=-3x在区间上单调递减,所以f(x)max=f(2)=-32=-4.答案:-44.(4分)函数f(x)=x(|x|-2)在m,n上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为_.【解析】函数f(x)=x(|x|-2),当x0时,f(x)=x2-2x;当x0时,x2-2x=1,解得x=1+;当x0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,即有f(x)在-1-,1+内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.答案:2+25.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在-1,3上的最大值为1,求实数a的值.【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=-,对称轴为x=-3,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当x-2,3时,ff(x)f(3),f(3)=15,f=-,所以当a=2,x-2,3时,该函数的值域为.(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是x=-a.当-a1时,函数f(x)在-1,3上的最大值为f(-1)=-2a-1=1,所以a=-1合题意;当-a1时,函数f(x)在-1,3上的最大值为f(3)=6a+3=1,所以a=-合题意;所以实数a的值为-或-1.1.当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是_.【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.(1)当-1时,即m-2时,满足f(2)=4+2m+40,所以m-4,又m-2,所以此时无解.(2)当-2,即m-4时,需满足f(1)=1+m+40,所以m-5,又m-4,所以m-5.(3)当1-2,即-4m0,即a0时,g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.所以g(a)=(2)假设存在符合题意的实数m,n,则由(1)可知,当aR时,g(a)2,+).所以若am,n,有g(a)5m,5n,则0mn,所以g(a)=a2+a+2在m,n上单调递增.所以所以1