常用三角关系式(角度有时是用a和0代替，有时是大写字母A和B.乘法符号是*。商数关系： sina / cosa =tanacosa / sina =cota倒数关系： sina =1/csca cosa =1/seca tana =1/cota平方关系： sin2 a +cos2 a =1 1+tan2a =sec2a1+cof a =csc2a倍角公式： sin2a =2sina cosa cos2a =cos2 a -sin2a =2cos2a -1=1-2sin2 a tan2a =2tana /(1-tan2 a )半角公式： tana /2=(1-cosa )/sina =sina /(1+cosa )代数公式： a3 +b3 =(a+b)(a2 -ab+b?) a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2) (ab)3 =a33a2 b+3ab2b3常用公式： 若 Sina +cosa =t，则 sina cosa =(? -1)/2.两角和与两角差公式： Cos(a +P )=cosa cosB -sina sin Cos(a -0 )=cosa cosP +sina sinP Sin(a 土 P )=sina cosp cosa sin0 Tan(a +P )=(tana +tanP )/(1-tana tanP ) Tan(a -P )=(tana -tanP )/(1tana tanP ) 公式逆用或变形应用公式： (1+tanA)/(1-tanA)=tan(n /4+A) tanA)/(1+tanA)=tan(n /4-A) tanA+tanB=tan(A+B)*(1-tanAtanB) tanA-tanB=tan(A-B)*(1+tanAtanB)降幂公式： cos2 A=(1+cos2A)/2 sin2 A=(1-cos2A)/2升幂公式： cos2A=2sin2 A 1+cos2A=2cos2 A 2tanA=tan2A*(1-tan2 A)1. y=c(c 为常数) y=02. y=xAn y=nxA(n-1)3. y=aAx y=aAxlnay=eAx y=eAx4. y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5. y=sinx y=cosx6. y=cosx y=-sinx7. y=tanx y=1/cosA2x8. y=cotx y=-1/sinA2x9. y=arcsinx y=1/ V 1-盘八210. y=arccosx y=-1/ V1/211. y=arctanx y=1/1+xA212. y=arccotx y=-1/1+xA2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1y=fg(x),y=Tg(x)g(x) rf*g(x)中 g(x)看作整个变量，而 g(x)中把 x 看作 变量2.y=u/v,y=uv-uv/vA23y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y=1/x证：1显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x 的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=CjZy=c-c=OjlimZlxf OZly/Zl x=0。2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为 任意实数的一般情况。在得到y=eAx y=eAx和y=lnx y=1/x这两个结果后能用 复合函数的求导给予证明。3y=aAx,丄 y=aA(x+ 丄 x)-aAx=aAx(aA A x-1)/ y/A x=aAx(aA A x-1)/Ax如果直接令Ax0,是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数P =aAAx-1 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：A x=loga(1+P )。所以(aAAx-1)/Ax=P /loga(1+P )=1/loga(1+P )八1/显然，当Ax0时，P也是趋向于0的。而limP f 0(1+p )八1/8 =e，所以limP 01/loga(1+P )八1/0 =1/logae=lna。把这个结果代入 limAxf0A y/A x=limA xf0aAx(aAA x-1)/A x 后得到 limA xf 0A y/A x=aAxlna。可以知道，当 a=e 时有 y=eAx y=eAx。4y=logaxA y=loga(x+A x)-logax=loga(x+A x)/x=loga(1+A x/x)Ax/xA y/A x=loga(1+A x/x)A(x/A x)/x因为当Ax0时，Ax/x趋向于0而x/Ax趋向于8，所以limAx0loga(1+ A x/x)A(x/A x)=logae,所以有limA x0A y/A x= logae/x。可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。这 时 可 以 进 行 y=xAn y=nxA(n-1) 的 推 导 了。 因 为 y=xAn, 所 以y=eAln(xAn)=eAnlnx,所以 y=eAnlnx(nlnx)=xAnn/x=nxA(n-i)。5.y=sinxZ y=sin(x+ / x)-sinx=2cos(x+ / x/2)sin(丄 x/2)Ayl A x=2cos(x+ Z x/2)sin( Z x/2)/ Z x=cos(x+ Z x/2)sin( Z x/2)/( Z x/2)所以 lim Z x f 0 Z y/ Z x=lim Z x f 0cos(x+ Z x/2) lim Z x f 0sin( Z x/2)/( Z x/2)=cosx6类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。7. y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cos)/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x8. y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sinA2x=-1/sinA2x9. y=arcsinxx=sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/ V 1-sinA2y=1/ V1/210y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/V 1-cosA2y=-1/V 1-xA211y=arctanxx=tanyx=1/cosA2y y=1/x=cosA2y=1/secA2y=1/1+tanA2x=1/1+xA212y=arccotxx=coty x=-1/sinA2y y=1/x=-sinA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx9archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4y=u 土 v,y=u土 v5y=uv,y=uv+uv均能较快捷地求得结果。