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2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)后二位 校验码号 码考生注意:1. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2. 本试卷共有23道试题,满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 计算:_.2. 设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则_.3. 若,则_.4. 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若,则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示).5. 设常数. 若的二项展开式中项的系数为,则_.6. 方程的实数解为_.7. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为_.8. 盒子中装有编号为的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示).9. 设AB是椭圆的长轴,点C在上,且. 若,则的两个焦点之间的距离为_.10. 设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差_.11. 若,则_.12. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,. 若对一切成立,则a的取值范围为_.yxO11123 4第13题图13. 在平面上,将两个半圆弧()和()、两条直线和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记D绕y轴旋转一周而成的几何体为. 过()作的水平截面,所得截面面积为. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_.14. 对区间上有定义的函数,记. 已知定义域为的函数有反函数,且,. 若方程有解,则_.二. 选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否则一律得零分.15. 设常数,集合,. 若,则a的取值范围为( ).(A)(B)(C)(D)16. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( ).(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件17. 在数列中,. 若一个行列的矩阵的第行第列的元素(;),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ).(A)18(B)28(C)48(D)6318. 在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、. 若m、M分别为的最小值、最大值,其中,则m、M满足( ).(A),(B),(C),(D),三. 解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.BAABDDCC第19题图19. (本题满分12分)如图,在长方体中,. 证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离.20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每一小时可获得的利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.21. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数,其中常数.(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像. 区间(,且)满足:在上至少含有30个零点. 在所有满足上述条件的中,求的最小值.22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线,曲线. 是平面内一点,若存在过点P的直线与、都有公共点,则称P为“型点”.O第22题图yx(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;(3)求证:圆内的点都不是“型点”.23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数,定义函数. 数列满足.(1)若,求及;(2)求证:对任意;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.数学(理)2013 第3页(共4页)2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.解答一. (第1题至第14题)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二. (第15题至第18题)题 号15161718代 号BBADBAABDDCC第19题图yxz三. (第19题至第23题)19. (本题满分12分)如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、.设平面的法向量为,则,.因为,所以解得. 取,得平面的一个法向量.因为,所以,所以.又不在平面内,所以直线与平面平行.由,得点B到平面的距离,所以直线到平面的距离为.20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.(1)生产该产品2小时的利润为.由题意,解得或.又,所以.(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得的利润为.记,则,当且仅当时取到最大值.最大利润为元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.21. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.(1)因为函数在上单调递增,且,所以,且,所以.(2),将的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到的图像,所以.令,得或,所以两个相邻零点之间的距离为或.若最小,则a和b都是零点,此时在区间,()上分别恰有3,5,个零点,所以区间上恰有29个零点,从而在区间上至少有一个零点,所以.另一方面,在区间上恰有30个零点,因此,的最小值为.22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.(1)的左焦点为,写出的直线方程可以是以下形式:或,其中.(2)因为直线与有公共点,所以方程组有实数解,因此,得.若原点是“型点”,则存在过原点的直线与都有公共点.考虑过原点与有公共点的直线或().显然直线与无公共点.如果直线为(),则由方程组得,矛盾. 所以直线()与也无公共点.因此原点不是“型点”.(3)记圆,取圆O内的一点Q. 设有经过Q的直线l与都有公共点. 显然l不垂直于x轴,故可设.若,由于圆O夹在两组平行线与之间,因此圆O也夹在直线与之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点,矛盾,所以.因为l与有公共点,所以方程组有实数解,得. 因为,所以,因此,即.因为圆O的圆心到直线l的距离,所以,从而,得,与矛盾.因此,圆内的点都不是“型点”.23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.(1).(2)当时,;当时,;当时,.所以,对任意,.(3)由(2),结合,得,即为无穷递增数列.又为等差数列,所以存在正数M,当时,从而.由于为等差数列,因此其公差.若,则,又,故,即,从而.当时,由于为递增数列,故,所以,而,故当时,为无穷等差数列,符合要求;若,则,又,所以,得,舍去;若,则由得到,从而为无穷等差数列,符合要求.综上,的取值集合为.高考(2013)数学(理)答案 第5页(共5页)
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