2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题6.4 数列求和与数列综合目录一、题型全归纳1题型一 分组转化求和1题型二 错位相减法求和3题型三 裂项相消法求和6题型四 并项求和8题型五 数列与其他知识的交汇9类型一数列与不等式的交汇问题9类型二数列与三角函数的综合10类型三数列与函数的综合11类型四数列中的新定义问题12类型五数列中的新情境问题13二、高效训练突破14一、题型全归纳题型一 分组转化求和【题型要点】分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和 【例1】(2020山东五地5月联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2S2x20，a1)loga(n1)loganan为等差数列，公差为d(d0)，(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等【例1】(2020江西八所重点高中4月联考)设数列an满足a11，an1(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【例2】(2020石家庄模拟)已知数列an是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.题型四 并项求和【题型要点】用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(1)n”；三是数列an是周期数列【易错提醒】运用并项求和法求数列的前n项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列bn的通项公式为bn(1)n，易知数列bn是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并【例1】(2020福建宁德二检)已知数列an的前n项和Snn22kn(kN*)，Sn的最小值为9.(1)确定k的值，并求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n1项和T2n1.【例2】(2020河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列an中，a33，a22，a4，a62成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，数列bn的前n项和为Sn，求S2n.题型五 数列与其他知识的交汇类型一数列与不等式的交汇问题【例1】(2020广东深圳二模)设Sn是数列an的前n项和，且a13，当n2时，有SnSn12SnSn12nan，则使得S1S2Sm2 019成立的正整数m的最小值为_【题后升华】解决本题的关键：一是细观察、会构造，即通过观察所给的关于Sn，an的关系式，思考是将Sn往an转化，还是将an往Sn转化；二是会解不等式，把求出的相关量代入已知不等式，转化为参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的最小值 类型二数列与三角函数的综合【例2】(2020安徽安庆4月联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若等差数列an的公差不为零，a1sin A1，且a2，a4，a8成等比数列，bn，求数列bn的前n项和Sn.【题后升华】破解数列与三角函数相交汇问题的策略：一是活用两定理，即会利用正弦定理和余弦定理破解三角形的边角关系；二是会用公式，即会利用等差数列与等比数列的通项公式求解未知量；三是求和方法，针对数列通项公式的特征，灵活应用裂项相消法、分组求和法、错位相减法等求和类型三数列与函数的综合【例3】(2020吉林长春5月联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，a6和a8是函数f(x)ln xx28x的极值点，则S8()A38B38C17D17【题后反思】破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混 类型四数列中的新定义问题【例4】(2020河北石家庄4月模拟)数列an的前n项和为Sn，定义an的“优值”为Hn，现已知an的“优值”Hn2n，则Sn_【题后反思】破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼an的“优值”Hn2n的含义为2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a12a22n1ann2n求通项，只需写出a12a22n2an1(n1)2n1，通过相减，即可得通项公式 类型五数列中的新情境问题【例5】(2020安徽六校第二次联考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1 a2 3，a3a2 2，等差数列bn的前n项和为Sn，且b35，S416.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P1(a1，0)，P2(a2，0)，Pn(an，0)，Pn1(an1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，Qn(an，bn)，若记PnQnPn1的面积为cn，求数列cn的前n项和Tn.【题后反思】数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列cn的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列cn的前n项和 二、高效训练突破一、选择题1.在数列an中，a12，a22，an2an1(1)n，nN*，则S60的值为()A990 B1 000C1 100 D992.(2020汕头摸底)已知数列an，若an1anan2(nN*)，则称数列an为“凸数列”已知数列bn为“凸数列”，且b11，b22，则数列bn的前2019项和为()A5 B4 C0 D23已知函数f(x)axb(a0，且a1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)当nN*时，an，记数列an的前n项和为Sn，当Sn时，n的值为()A7 B6C5 D44(2020河北保定期末)在数列an中，若a11，a23，an2an1an(nN*)，则该数列的前100项之和是()A18 B8C5 D25已知数列an的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若an1且a15，则S2020()A4740 B4737 C12095 D120026.在数列an中，若对任意的nN*均有anan1an2为定值，且a72，a93，a984，则数列an的前100项的和S100()A132 B299 C68 D997(2020洛阳模拟)记数列an的前n项和为Sn，已知a11，(Sn1Sn)an2n(nN*)，则S2020()A3(210101) B.(210101)C3(220201) D.(220201)8.(2020河北五个一名校联盟第一次诊断)数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2021等于()A1010 B2018 C505 D10109.在数列an中，若an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A76B78C80 D8210(2020湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3a3a4an1an()A. B.C. D.二、填空题1.(2020湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列an的前n项和为Sn，a11.当n2时，an2Sn1n，则S2 019_2已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且an22an1an0(nN*)，记Tn(nN*)，则T2 018_3.(2020商丘质检)有穷数列1,12,124，1242