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三角变换与解三角形1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用;能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明;掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点及常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等);掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点,应给予充分的重视新教材降低了对三角函数恒等变形的要求,但对两角和的正切考查一直是重点1. 若tan3,则的值等于_. 2.已知cossin,则sin的值是_3.在ABC中,tanA,tanC,则角B的值为_4.在锐角ABC中,BC1,B2A,则的值等于_【例1】已知cos,cos()且0.(1) 求tan2的值;(2) 求.【例2】在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求b.【例3】在ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知sinCcosC1sin.(1) 求sinC的值;(2) 若a2b24(ab)8,求边c的值【例4】已知sin(2)3sin,设tanx,tany,记yf(x)(1) 求f(x)的解析式;(2) 若角是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域1. (2011全国)已知,tan2,则cos_. 2.(2011江苏)已知tan2,则的值为_3.(2011重庆)已知sincos,且,则的值为_4.(2010广东)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a1,b, AC2B,则sinC_.5.(2011广东)已知函数f(x)2sin,xR.(1) 求f的值;(2) 设,f,f(32),求cos()的值6.(2011全国)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c;已知asinAcsinCasinCbsinB.(1) 求B;(2) 若A75,b2,求a,c.(本小题满分14分)已知函数f(x)2cos.(1) 设,且f()1,求的值;(2) 在ABC中,AB1,f(C)1,且ABC的面积为,求sinAsinB的值解:(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1, 得cos.(5分)于是x2k(kZ),因为x,所以x或.(7分)(2) 因为C(0,),由(1)知C.(9分)因为ABC的面积为,所以absin,于是ab2, 在ABC中,设内角A、B的对边分别是a、b,由余弦定理得1a2b22abcosa2b26,所以a2b27,由可得或于是ab2. (12分)由正弦定理得,所以sinAsinB(ab)1. (14分)第8讲三角变换与解三角形1. 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2c2b2)tanBac,则角B的值为_【答案】或解析: 由余弦定理得cosB, tanBcosB,sinB,B为或.2. 在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,(1) 求角B的大小;(2) 若ABC最大边的边长为,且sinC2sinA,求最小边边长解: (1)由整理得(ac)c(ba)(ab),即acc2b2a2, cosB, 0B, B.(2) B, 最长边为b, sinC2sinA, c2a, a为最小边,由余弦定理得()2a24a22a2a,解得a21, a1,即最小边边长为1.基础训练1. 6解析:2tan.2. 解析:cossin化为cossinsin,sin,sin.3. 解析:tanBtan(AC)tan(AC)1.4. 2解析:由正弦定理得,2.例题选讲例1解:(1)cos, sin,tan4,tan2.(2) coscos()coscos()sinsin(), .例2解:(解法1)在ABC中, sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有 a3c,化简并整理得:2(a2c2)b2,又由已知a2c22b, 4bb2,解得b4或0(舍)(解法2)由余弦定理得: a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0.所以b2ccosA2,又sinAcosC3cosAsinC, sinAcosCcosAsinC4cosAsinC,sin(AC)4cosAsinC,即sinB4cosAsinC,由正弦定理得sinBsinC,故b4ccosA,由,解得b4.变式训练在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1) 若c2,C,且ABC的面积S,求a,b的值;(2) 若sinCsin(BA)sin2A,试判断ABC的形状解: (1) 由余弦定理及已知条件得,a2b2ab4,又因为ABC的面积等于,所以absinC,得ab4.联立方程组解得a2,b2.(2) 由题意得sinBcosAsinAcosA,当cosA0时,A,ABC为直角三角形;当cosA0时,得sinBsinA,由正弦定理得ab,ABC为等腰三角形所以,ABC为直角三角形或等腰三角形例3解:(1) 由已知得2sincos12sin21sin,即sin0,由sin0得2cos2sin10,即sincos,两边平方得:sinC.(2) 由sincos0知sincos,则,即C,则由sinC得cosC,又a2b24(ab)8,即(a2)2(b2)20,故ab2,所以由余弦定理得c2a2b22abcosC82,c1.变式训练已知ABC中,a、b、c是三个内角A、B、C的对边,关于x的不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集(1) 求角C的最大值;(2) 若c,ABC的面积S,求当角C取最大值时ab的值解: (1) 不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集 即得故cosC,而cosC0时解集不是空集 角C的最大值为60.(2) 当C60时,SABCabsinCab, ab6,由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC, (ab)2c23ab, ab.例4解:(1)(解法1)注意角的变换2(),().(1) 由sin(2)3sin得,sin()3sin(),则sin()coscos()sin3sin()cos3cos()sin, sin()cos2cos()sin, tan()2tan,于是2tan,即2x, y,即f(x).(解法2) 直接展开,利用“1”的变换sin2coscos2sin3sin,2sincoscos(cos2sin2)sin3sin,tan3tan,tan3tan, y,即f(x).(2) 角是一个三角形的最小内角, 0,0x,f(x),设g(x)2x,则g(x)2x2(当且仅当x时取等号),故函数f(x)的值域为.高考回顾1. 解析:由cos2,又,cos0,所以cos.2. 解析: tan2, tanx, .3. 解析:sincos得sincos,sin,2cos,sincos, cos,2.4. 1解析:由三角形内角和定理得B,根据正弦定理得,即sinA,1, AB, A,C,sinC1.5. 解:(1) f2sin2sin.(2) f2sin, sin, , cos.f(32)2sin2cos, cos, , sin. cos()coscossinsin.6. 解:(1) 由正弦定理asinAcsinCasinCbsinB,可变形为a2c2acb2,即a2c2b2ac,由余弦定理cosB,又B(0,),所以B.(2) 由sinAsin(4530)sinCsin60.由正弦定理a1,同理c.第9讲平面
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