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精品数学高考复习资料第五节直接证明与间接证明 考点一分析法的应用 例1已知函数f(x)3x2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有f.自主解答要证明f,即证明32,因此只要证明(x1x2)3(x1x2),即证明3,因此只要证明,由于x1,x2R,所以3x10,3x20,由基本不等式知显然成立,故原结论成立【方法规律】利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证来源:www.shulihua.net已知非零向量a、b,且ab,求证:.证明:abab0,要证.只需证|a|b|ab|,只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2),只需证|a|22|a|b|b|22a22b2,只需证|a|2|b|22|a|b|0,即(|a|b|)20,上式显然成立,故原不等式得证.考点二综合法与分析法的综合应用 例2(2013湖北高考)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2,C1C2d3,且d1d2d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中 (1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,记BCa,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估S中h来估算已知V(d1d2d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明自主解答(1)证明:依题意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1,B1B2d2,C1C2d3,且d1d2d3.所以四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFNME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可证A1A2FG,所以DEFG.又点M,N分别为AB,AC的中点,则点D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点,即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线因此DE(A1A2B1B2)(d1d2),FG(A1A2C1C2)(d1d3),而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形(2)V估V.证明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线,可得MNBCa,即为梯形DEFG的高,因此S中S梯形DEFG(2d1d2d3),即V估S中h(2d1d2d3)又Sah,所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1d20,d3d10,故V估2的最小正整数,则m2,并且对任意1k2.于是,BmAmdm211,Bm1minam,Bm2.故dm1Am1Bm1220,与dm11矛盾所以对于任意n1,有an2,即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1,an2a1,所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n,存在m满足mn,且am1,即数列an有无穷多项为1.反证法应用问题的常见类型及解题策略(1)证明否定性命题解决此类问题分三步:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止;由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论正确(2)证明存在性问题证明此类问题的方法类同问题(1)1(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an1不是等比数列解:(1)设an的前n项和为Sn,当q1时,Sna1a1a1na1;当q1时,Sna1a1qa1q2a1qn1,qSna1qa1q2a1qn,得,(1q)Sna1a1qn,Sn,Sn(2)证明:假设an1是等比数列,则对任意的kN*,(ak11)2(ak1)(ak21),a2ak11akak2akak21,aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1,a10,2qkqk1qk1.q0,q22q10,q1,这与已知矛盾假设不成立,故an1不是等比数列2已知f(x)x2pxq.求证:(1)f(1)f(3)2f(2)2;(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.证明:(1)因为f(x)x2pxq,所以f(1)1pq,f(2)42pq,f(3)93pq,则f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.来源:www.shulihua.net(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,则f(1),f(2),f(3).由同向不等式性质,得2f(1)f(3)2f(2)2.这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾故原命题结论成立,即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.课堂归纳通法领悟1种关系综合法与分析法的关系综合法与分析法的关系:分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路,再运用综合法证明;或两种方法交叉使用2个注意点利用分析法和反证法应注意的问题(1)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性(常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”),等分析到一个明显成立的结论(2)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的3个关键点反证法证明的关键点(1)准确反设;(2)从否定的结论正确推理;(3)得出矛盾精品备战高考复习题精品备战高考复习题
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