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定积分的近似计算方法摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求 积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差,可以利用复化求 积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们 产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值1bf(x)dx时,常常根据微积分学基本定理求出f (x)的一个原函a数F(x),再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,I = J bf (x)dx = F(b)-F(a).但在实际应用中,a这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题当函数没有具体表达式,只是一些实验测得 数据形成的表格或图形或者是F (x)无法用初等函数表示,例如Jb ex2dx,Jb sin x 2 dx等等,这 aa就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数9 (x)来近似代替 f( X),且n p(对必的值容易求的.这样就把计算复杂的(对必转化为求简单的积分值aanp(x)dx .因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题a2常见数值方法2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法具体做法是:给定区间a b止一组节点a = x xi b,以及节点处函数f ( x ) (j0,1,2作f (x)的n次拉格朗日多项式i9 (x)=才 f (x )l (x)ni ii=07/、(x - x )L(x - x )(x - x )L(x - x )其中,将插值公式l (x) =0i-1+n -i(x - x )L(x - x )(x - x )L(x - x )i 0ii-1ii+1i n其中上式积分得若记f (x) =9 (x) +nf( n+1)点)(n +1)!(x)n+1 (x )= X x 助(x x ) 乂 Lx -)x (, g g a, b,依赖于变量 x , n+1012nJb f (x)dx = Jb 9 (x)dx + Jbf3 (x)dxaa na (n +1)! n+1=Jb 工 f (x )l (x )dx + fbai i ia (n +1)!(n+1)i=0=X f (x )b Jbl (x)dx + Jbf3(x)dxi=01a (n + 1)! (n+1)A = J bl (x)dx,(i = 0,1,2,. n) i a b f (n+1) (g )-3 (x) dxa (n + 1)!n+1R f = J(1)则有J bf (x)dx =a工 Af (x) + R f i ii=0称式(3)为插值求型公式,其中A(i = 0,1,2,. n)与f (x)无关,叫求积系数,x.为求积节点,iiR f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点x,x1分别选取区间端点a,b时,由式(3)分别求出求积系数A =Jb4x = JbFx = 口0 a x 一 xa a 一 b20 1 ,x 一 x 丁0- dx =x 一 x1 0x 一 a , dx =b 一 ab a从而的求积公式J bf (x )dx沁f a( +) f b (.)a2称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差:Rf = -(b 一; f匕*), E * e a b 3梯形求积公式的代数精度:1当f (x)二1时,式(5)中Jb 1dx = b - a =ab 一 a (x +1) = b - a . 2(。)+7 f(b)+32 瓦f( x4 k)k -1其中+12f (x ) + 3正 f (x ) +14 艺 f (x ) = C4 k - 24 k-14 kN4 k - 24 k-14 kNk=1k =1k =17 b 一 ah =b 一a”一丄h n4m Lt 1 IVf Q k(17)其截断误差为Rf, C 二2(b -a)h6f(6)(n),(a nb).n 9452.1.7变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易我们可以采取把积分的区间a,b细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出 的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间a,b分成n等分,设复化梯形公式的近似值为T,原积分值n为I,由复化梯形公式误差公式(14)知:)2广叫)(a n1 b)再把区间a,b分成2n等分,得近似值T,则2 nb a b a-1T (页)2 f (n2)(a n2 b)假定八X)在a,b上变化不大,既有f 0)f g) I - T ,由上式得于是沁4I - T2 k1 1(18)I 沁 T + (T - T )二 T +(T - T )
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