第一章 特殊平行四边形3. 正方形的性质与判定（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法，并能解决一些简单的现实问题，感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用，获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力4、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。激发学生学习的积极性与主动性。三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：性质应用；第五环节：练习提高；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。第一环节：课前准备活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。以合作小组为单位，开展调查活动：各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。活动目的：通过活动，使学生能获取尽可能多的关于矩形的信息，体会数学在社会生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；使学生通过对目标问题展开调查采访或查阅资料，在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神。激发学生学习的积极性与主动性。活动的注意事项：学生搜集的方式、以及展示结果的形式不限，可以上网搜集图片，可以是照片，也可以搜集实物，或者学生自己喜欢的其它形式。这样可以在极大程度上保护、鼓励学生参与的积极性和热情，并且可以极大程度上凝聚学生间的合作精神。附部分学生作品：学生搜集的图片或实物（部分）： 第二环节：情境引入活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。活动目的：培养学生从具体数学对象中获得必要的数学要素（数据）以及对素材进行适当的操作的能力。培养学生对于数据进行整理、解析的能力。培养学生从数据中发现、推导结论的能力。（通过对测量数据的分析、发现其中的相同与不同，便可较为自然的引导到本节课。）同时也可以最大程度的满足不同认知能力、信息搜集能力学生的不同认知需求（比如：实物的同学可以利用手头的测量工具得数据，而善于利用电脑的同学则可以将其搜集到的图片放入合适的软件（如几何画板）中，利用软件的便利来获得数据。）并可以极大程度上增强学生对于度量数据（图形性质）的感受。活动的注意事项：我们要注意实物测量、操作和利用软件进行测量，这两种方式显然各有可取之处，比如学生利用实物进行折叠显然比用软件要方便的多，所以老师要给予恰当的引导。由于度量会有误差，所以老师应该提醒学生小组多次（或多人分别）测量减小误差。由于可测量的数据较多，所以老师应该提醒学生可以借鉴前几节课的研究，对于测量数据进行适当的选择。并整理记录数据。老师可以给学生一个示范性的数据整理模式（如下表），但不要强求。图形名称数据角线边数量关系位置关系对角线数量关系位置关系对称性第三环节：合作学习活动内容：选取一些有代表性的小组，对其得到的的数据或是操作得到的结论进行交流。活动目的：是为了完成以下任务。第一任务：引出“有一组临边相等的矩形叫做正方形”通过数据的交流自然的回答了“议一议”中的两个问题：（1）正方形是菱形吗?(2）你认为正方形有哪些性质？第二任务：通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质、“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”“正方形的对角线互相垂直平分”第三任务：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”活动的注意事项：第一任务：学生对于（1）正方形是菱形吗?这个问题，无论是操作、度量实物还是借助于软件都比较容易得到结论。对于(2）你认为正方形有哪些性质？中的“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论，无论是操作、度量实物还是借助于软件也都比较容易得到，但是对于“正方形的对角线互相垂直平分”这个结论，学生有可能不一定能够发现或者得到的结论不一定完整。所以老师在此处还是要进行必要的引导。比如：“我们来关注一下对角线的数量和位置关系”或者“既然正方形也是菱形，那么它的对角线。（引导学生回答）”第二任务：注意引导学生数学表达的准确性。此处尽量引导学生自我完成，哪怕让学生在多次失败中不断的自我完善，也比老师给出结论要好，至少锻炼学生的自我修正、完善能力。第三任务：此时学生已经有了前面的探索经验，其实从方法上来说，已经无障碍，只是可能学生没有关注到这个角度。此时我们可以引导学生通过操作（折纸）得到对角线然后再研究，或者我们可以从另一个角度给学生适当的提示“正方形也是菱形，菱形还研究过。（期待学生思考）“第四环节：性质应用活动内容：引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系？请说明理由。选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”活动目的：使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力。充分锻炼学生的空间观念。使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质。同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段。活动的注意事项：在引用本例题时由于问题中“BE与DF之间又怎样的关系？”这个表述过于笼统，所以可能有部分学生可能会对“关系”的理解不到位，只理解为数量或位置关系，所以在具体上课时要根据具体的学情，进行适当的分解。比如分层教学，可将问题分解为“BE与DF之间又怎样的数量关系？”“BE与DF之间又怎样的位置关系？”“BE与DF之间又怎样的数量、位置关系？”“BE与DF之间又怎样的关系？”分别由不同层次的学生选择适合自己的问题。最后一定要让学生明确“BE与DF之间又怎样的关系”包含数量和位置两种关系。或者我们可以在课堂上故意让“位置”“数量”两种不同观点的同学交流自己的意见，从而引发同学的关注与参与，进而在交争论中达成共识，加深印象。实际上“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”中“你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？”的这个表述在一定程度上是对学生回答问题方式的一种约束，不利于学生充分调动自己的认知结构对此问题做出“丰富多彩”的展示，建议将此表述改为“你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗？”更贴近学生，更有利于学生做出“丰富多彩”的展示。可预知学生可能会出现图的展示，可能会出现表格的展示，甚至可能出现卡通的展示，小品式的展示。既激发了学生参与的热情，又丰富了总结的形式，何乐而不为。我们也可以采用如下的方式对学生进行追问：“这是老师的，你的呢？”来不断引导学生参与、思考。第五环节：练习提高活动内容：1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。活动目的：对本节知识进行巩固练习。活动注意事项：其实我们教师可以根据自己课堂的具体学情，对题目进行适当的替换。但是这种对于学生来说的初次尝试，不宜太复杂，以免打击学生的主动性、积极性。第六环节：课堂小结活动内容：总结正方形的性质：包括其边角关系以及对称性。其次将平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系建立起适合学生自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分。活动目的：一是要通过此环节对学过的知识进行回顾，并且进行在加工，内化为自己的数学品质。同时在此过程中学生间的相互交流、沟通、甚至是争论，也将逐渐在学生意识中渗透，进而使其将“交流、沟通、争论等等”逐渐吸收变成自己获取信息的方式中的一种。活动注意事项：总结最好主要由学生自主完成，老师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可。因为学习的意义首先便是吸引受教育对象的主动参与，然后才会有后续的认知探究；其次这种亲身参与获得的感受与收获更容易内化为学生自身的认知结构；再次这种多个交流对象间的交流甚至争论不仅加深了学生对知识的认知，更重要的是这是触发灵感、产生新问题的重要途径。第七环节：布置作业课本P22A-1层作业：习题1.7A-2层作业：知识技能T1，T2B层作业：数学理解T3比如我们可以将1进行变式：斜边为2的等腰直角三角形的腰长是多少？比如我们可以将2中的等边CBE改为EBC=ECB=50。等等。总之作业我们一定要源自于教材，如果需要我们可以以此为依据对题目进行适当的变式以便达到练习分层的目的。四、教学设计反思：1：要智慧的用教材：教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力。2：给学生提供充分展示自己的机会通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解、思维误区以及学生的发展就近区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。留给学生充分的独立思考的时间、给予它们充分交流的自由、争论，因为这样学生自身的知识结构才能更好的重建，才有可能碰撞出灵感产生新的问题，毕竟源自于自身思考的问题才是带领学生更深入思考的利器。其次学生主导不要忽略教师应有的必要引领与指导才能使学习更具实效性。